3. ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед. а) Найдите длину ломаной DCC₁B₁A₁, если AB = 4 см, AD = 2⋅AB, A₁A = 5 см. б) Найдите площадь грани AA₁D₁D. Укажите грань параллелепипеда, которая имеет такую же площадь. в) Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда. г) Какой длины понадобиться проволока, чтобы изготовить каркасную модель такого параллелепипеда?

Решение:

Дано:

Прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.

AB = 4 см.

AD = 2 ⋅ AB = 2 ⋅ 4 см = 8 см.

A₁A = 5 см.

Найти:

а) DCC₁B₁A₁

б) Площадь грани AA₁D₁D и равную ей грань.

в) Площадь полной поверхности.

г) Длину проволоки для каркаса.

а) Длина ломаной DCC₁B₁A₁:

DCC₁B₁A₁ = DC + CC₁ + C₁B₁ + B₁A₁.

DC = AB = 4 см.

CC₁ = A₁A = 5 см.

C₁B₁ = AB = 4 см.

B₁A₁ = AB = 4 см.

DCC₁B₁A₁ = 4 см + 5 см + 4 см + 4 см = 17 см.

б) Площадь грани AA₁D₁D:

Грань AA₁D₁D является прямоугольником. Стороны грани: AA₁ = 5 см и AD = 8 см.

Площадь грани AA₁D₁D = AA₁ ⋅ AD = 5 см ⋅ 8 см = 40 см².

Грань, имеющая такую же площадь, — это грань BB₁C₁C, так как BC = AD = 8 см и BB₁ = AA₁ = 5 см.

в) Площадь полной поверхности параллелепипеда:

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: S = 2(ab + bc + ac), где a, b, c — измерения параллелепипеда.

a = AB = 4 см, b = AD = 8 см, c = AA₁ = 5 см.

S = 2(4 ⋅ 8 + 8 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5) = 2(32 + 40 + 20) = 2(92) = 184 см².

г) Длина проволоки для каркаса:

Каркас параллелепипеда состоит из 12 ребер. Сумма длин всех ребер вычисляется по формуле: L = 4(a + b + c).

L = 4(4 см + 8 см + 5 см) = 4(17 см) = 68 см.

Ответ: а) 17 см; б) 40 см², грань BB₁C₁C; в) 184 см²; г) 68 см.