3) 5600 и 5601 и) 13932 и 17200 К)5125 и 6642 Л)13932 и 17200 27. Найдите наибольший общий делитель с помощью разложения на множители: А) 12, 18 и 28 Б) 162, 288 и 270 B) 315, 175, 588 г) 170, 187 и 1377 Д) 13, 17, 34 и 39 Е) 12, 32, 44 и 204 Ж) 171, 1425, 456 и 399 28. Найти НОД и НОК следующих чисел с помощью разложени простые множители. 56

Решение задания 27:

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) будем использовать разложение чисел на простые множители.

А) 12, 18 и 28

\( 12 = 2^2 \cdot 3 \)

\( 18 = 2 \cdot 3^2 \)

\( 28 = 2^2 \cdot 7 \)

Общий делитель: \( 2 \). НОД(12, 18, 28) = 2.

Б) 162, 288 и 270

\( 162 = 2 \cdot 3^4 \)

\( 288 = 2^5 \cdot 3^2 \)

\( 270 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 \)

Общие делители: \( 2, 3^2 \). НОД(162, 288, 270) = \( 2 \cdot 3^2 = 18 \).

В) 315, 175, 588

\( 315 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \)

\( 175 = 5^2 \cdot 7 \)

\( 588 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7^2 \)

Общий делитель: \( 7 \). НОД(315, 175, 588) = 7.

Г) 170, 187 и 1377

\( 170 = 2 \cdot 5 \cdot 17 \)

\( 187 = 11 \cdot 17 \)

\( 1377 = 3^3 \cdot 41 \)

Общий делитель: \( 17 \) (нет, 17 не является делителем 1377). Общих делителей нет, кроме 1. НОД(170, 187, 1377) = 1.

Д) 13, 17, 34 и 39

\( 13 \) (простое число)

\( 17 \) (простое число)

\( 34 = 2 \cdot 17 \)

\( 39 = 3 \cdot 13 \)

Общих делителей нет, кроме 1. НОД(13, 17, 34, 39) = 1.

Е) 12, 32, 44 и 204

\( 12 = 2^2 \cdot 3 \)

\( 32 = 2^5 \)

\( 44 = 2^2 \cdot 11 \)

\( 204 = 2^2 \cdot 3 \cdot 17 \)

Общий делитель: \( 2^2 \). НОД(12, 32, 44, 204) = \( 2^2 = 4 \).

Ж) 171, 1425, 456 и 399

\( 171 = 3^2 \cdot 19 \)

\( 1425 = 3 \cdot 5^2 \cdot 19 \)

\( 456 = 2^3 \cdot 3 \cdot 19 \)

\( 399 = 3 \cdot 7 \cdot 19 \)

Общие делители: \( 3, 19 \). НОД(171, 1425, 456, 399) = \( 3 \cdot 19 = 57 \).

Решение задания 28:

Найдем НОД и НОК следующих чисел с помощью разложения на простые множители.

Числа: 5600, 5601, 13932, 17200, 5125, 6642, 13932, 17200.

Примечание: Числа 13932 и 17200 повторяются. Будем считать, что это отдельные задания.

3) 5600 и 5601

\( 5600 = 56 \cdot 100 = 2^3 \cdot 7 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^5 \cdot 5^2 \cdot 7 \)

\( 5601 \) — сумма цифр равна \( 5+6+0+1 = 12 \), значит делится на 3. \( 5601 = 3 \cdot 1867 \). \( 1867 \) — простое число.

Общих простых множителей нет. НОД(5600, 5601) = 1.

НОК(5600, 5601) = \( 5600 \cdot 5601 = 31365600 \).

и) 13932 и 17200

\( 13932 = 2^2 \cdot 3 \cdot 1161 = 2^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 387 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 129 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 3 \cdot 43 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 43 \)

\( 17200 = 172 \cdot 100 = 2^2 \cdot 43 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 43 \)

Общие множители: \( 2^2, 43 \). НОД(13932, 17200) = \( 2^2 \cdot 43 = 4 \cdot 43 = 172 \).

НОК(13932, 17200) = \( \frac{13932 \cdot 17200}{172} = 13932 \cdot 100 = 1393200 \).

К) 5125 и 6642

\( 5125 \) — оканчивается на 5, делится на 5. \( 5125 = 5 \cdot 1025 = 5^2 \cdot 205 = 5^3 \cdot 41 \).

\( 6642 \) — четное, делится на 2. \( 6642 = 2 \cdot 3321 \). Сумма цифр \( 3+3+2+1 = 9 \), делится на 3. \( 3321 = 3 \cdot 1107 \). Сумма цифр \( 1+1+0+7 = 9 \), делится на 3. \( 1107 = 3 \cdot 369 \). Сумма цифр \( 3+6+9 = 18 \), делится на 3. \( 369 = 3 \cdot 123 \). Сумма цифр \( 1+2+3=6 \), делится на 3. \( 123 = 3 \cdot 41 \). Итак, \( 6642 = 2 \cdot 3^4 \cdot 41 \).

Общие множители: \( 41 \). НОД(5125, 6642) = 41.

НОК(5125, 6642) = \( \frac{5125 \cdot 6642}{41} = 5125 \cdot 162 = 830250 \).

Л) 13932 и 17200

Это повторение задания 'и)'.

НОД(13932, 17200) = 172.

НОК(13932, 17200) = 1393200.

Ответ: 27. А) 2; Б) 18; В) 7; Г) 1; Д) 1; Е) 4; Ж) 57. 28. 3) НОД=1, НОК=31365600; и) НОД=172, НОК=1393200; К) НОД=41, НОК=830250; Л) НОД=172, НОК=1393200.