3. (№ 495, сб.) Лыжник массой m = 60 кг из состояния покоя съезжает с горы высотой h = 14 м. Затем движется по горизонтальному участку, не работая палками, и останавливается. Определите силу трения скольжения лыжника до остановки на горизонтальном участке длиной l = 40 м, если на преодоление сопротивления при движении с горы до горизонтального участка ушло 20 % начальной энергии лыжника.

Дано:

m = 60 кг

h = 14 м

l = 40 м

η = 20 % = 0.2

Найти:

F_тр

Решение:

1. Начальная потенциальная энергия лыжника: \( E_{п} = mgh \)
2. Работа силы тяжести при спуске с горы: \( A_{тяж} = E_{п} = mgh \)
3. Работа силы трения при спуске с горы: \( A_{тр, горы} = F_{тр, горы} \cdot l_{горы} \)
4. Закон сохранения энергии (с учетом работы силы трения): \( E_{к} = A_{тяж} - A_{тр, горы} \). На вершине \( E_{к} = 0 \), поэтому \( 0 = mgh - A_{тр, горы} \).
5. По условию, на преодоление сопротивления при движении с горы ушло 20% начальной энергии. Это значит, что работа силы трения на горе составила 20% от начальной потенциальной энергии: \( A_{тр, горы} = 0.2 \cdot E_{п} = 0.2 \cdot mgh \)
6. Приравниваем работу силы трения к затраченной энергии: \( F_{тр, горы} \cdot l_{горы} = 0.2 \cdot mgh \).
7. Так как сила трения предполагается одинаковой на всем пути, то \( F_{тр} = F_{тр, горы} = \frac{0.2 \cdot mgh}{l_{горы}} \).
8. Длина участка горы \( l_{горы} \) находится из \( \text{sin}(\alpha) = \frac{h}{l_{горы}} \). Из условия задачи, \( l_{горы} \) не дана, но работа силы трения связана с начальной энергией, а не длиной. Будем считать, что \( l_{горы} \) — это длина склона. Однако, если сила трения постоянна, её можно выразить через работу.
9. Рассмотрим движение на горизонтальном участке. Здесь лыжник останавливается, значит, работа силы трения равна изменению кинетической энергии: \( -F_{тр} \cdot l = 0 - E_{к, начальная} \).
10. Кинетическая энергия в начале горизонтального участка равна остаточной энергии после спуска с горы: \( E_{к, начальная} = E_{п} - A_{тр, горы} = mgh - 0.2 \cdot mgh = 0.8 \cdot mgh \).
11. Теперь подставим это в уравнение работы на горизонтальном участке: \( -F_{тр} \cdot l = 0 - 0.8 \cdot mgh \)
12. Выразим силу трения: \( F_{тр} = \frac{0.8 \cdot mgh}{l} \)
13. Подставим числовые значения: \( F_{тр} = \frac{0.8 \cdot 60 \cdot 9.8 \cdot 14}{40} \)
14. \( F_{тр} = \frac{0.8 \cdot 60 \cdot 9.8 \cdot 14}{40} = \frac{6585.6}{40} \cdot 1.6364 \)
15. \( F_{тр} \cdot 164.64 \cdot 1.6364 \cdot 164.64 \cdot 1.6364 \cdot 164.64 \).
16. \( F_{тр} \cdot 164.64 \) Н.
17. Пересчитаем: \( F_{тр} = \frac{0.8 \cdot 60 \cdot 9.8 \cdot 14}{40} = \frac{6585.6}{40} = 164.64 \cdot \) Н.
18. \( F_{тр} \cdot 164.64 \) Н.

Ответ: 164.64 Н.