3.4. Среди 9 монет одна является фальшивой: она отличается от настоящих по весу, но неизвестно, тяжелее она или легче. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь выявить фальшивую монету?

Краткое пояснение:

Эта задача является классической головоломкой, которая решается методом деления на три части. Каждое взвешивание позволяет исключить две трети монет, сужая область поиска.

Решение:

Мы имеем 9 монет, одна из которых фальшивая. Мы не знаем, легче она или тяжелее настоящей. Это усложняет задачу, так как мы не можем просто сказать, что более легкая монета — фальшивая.

• Шаг 1: Первое взвешивание. Разделим 9 монет на три группы по 3 монеты. Положим первую группу (3 монеты) на левую чашу весов, а вторую группу (3 монеты) — на правую чашу весов.
  • Случай 1: Весы уравновешены. Это означает, что все 6 монет на весах — настоящие. Фальшивая монета находится в третьей группе (3 монеты), которую мы не взвешивали.
  • Случай 2: Левая чаша легче правой. Это означает, что фальшивая монета находится либо среди 3 монет на левой чаше (и она легче), либо среди 3 монет на правой чаше (и она тяжелее).
  • Случай 3: Левая чаша тяжелее правой. Это означает, что фальшивая монета находится либо среди 3 монет на левой чаше (и она тяжелее), либо среди 3 монет на правой чаше (и она легче).
• Шаг 2: Второе взвешивание. Теперь мы знаем, в какой группе из 3 монет находится фальшивая, или в какой из двух групп из 3 монет она находится, и знаем, легче она или тяжелее.
  • Если весы уравновешены в первом шаге (фальшивая монета в третьей группе): Возьмем две монеты из этой группы (3 монеты) и положим по одной на каждую чашу весов.
    • Если весы уравновешены, то фальшивая монета — третья, которую мы не взвешивали.
    • Если одна чаша перевешивает, то монета на ней — фальшивая.
  • Если в первом шаге левая чаша была легче правой (фальшивая монета — либо одна из 3 на левой (легче), либо одна из 3 на правой (тяжелее)): Возьмем две монеты с левой чаши (которые могут быть легче) и положим по одной на каждую чашу. Сравним их с одной настоящей монетой (из той группы, что была уравновешена в первом шаге).
    • Положим 1-ю монету с левой чаши на левую чашу.
    • Положим 1-ю монету из группы, которая была уравновешена, на правую чашу.
    • Если весы уравновешены: Фальшивая монета — вторая монета с левой чаши (она легче).
    • Если левая чаша легче: Первая монета с левой чаши — фальшивая (она легче).
    • Если левая чаша тяжелее: Это невозможно, так как настоящая монета не может сделать чашу тяжелее, чем другая настоящая.
  • Аналогично, если в первом шаге левая чаша была тяжелее правой.
• Шаг 3: Третье взвешивание. Если после второго взвешивания мы все еще не определили фальшивую монету (например, у нас осталось 3 монеты, и мы знаем, что одна из них фальшивая, но не знаем, легче она или тяжелее, или мы знаем, что одна из двух монет фальшивая, и она легче), то третье взвешивание позволит нам точно определить ее.

Пример для случая, когда первая группа (3 монеты) легче второй (3 монеты):

• Монеты: L1, L2, L3 (слева, легче), R1, R2, R3 (справа, тяжелее), N1, N2, N3 (настоящие).
• Взвешивание 2: L1 vs L2.
  • Если L1 = L2: Фальшивая — L3 (легче).
  • Если L1 < L2: Фальшивая — L1 (легче).
  • Если L1 > L2: Фальшивая — L2 (легче).

Таким образом, за три взвешивания мы можем выявить фальшивую монету, даже не зная, легче она или тяжелее.