Контрольные задания
Вопрос:

3.4. Дан параллелепипед \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) (рис. 3.14). Найдите сумму \(\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{C_1D_1}+\overrightarrow{DB_1}+\overrightarrow{BC}\).

Фото задания: 3.4. Дан параллелепипед \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) (рис. 3.14). Найдите сумму…Фото задания

Ответ:

Обозначим ребра параллелепипеда: \(\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf{d}\), \(\overrightarrow{AA_1}=\mathbf{a}\).

  1. \(\overrightarrow{A_1A}=-\mathbf{a}\).
  2. Так как \(C_1D_1\) параллелен и равен \(BA\), то \(\overrightarrow{C_1D_1}=-\mathbf{b}\).
  3. \(\overrightarrow{DB_1}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_1}=-\mathbf{d}+\mathbf{b}+\mathbf{a}\).
  4. \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\mathbf{d}\).

Складываем:

\[\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{C_1D_1}+\overrightarrow{DB_1}+\overrightarrow{BC}= -\mathbf{a}-\mathbf{b}+(-\mathbf{d}+\mathbf{b}+\mathbf{a})+\mathbf{d}=\mathbf{0}.\]

Ответ: \(\overrightarrow{0}\).