3.4.14. Периметр равнобедренного треугольника равен 90, а боковая сторона равна 25. Найдите его площадь.

Решение:

1. Найдём основание равнобедренного треугольника.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. В равнобедренном треугольнике две стороны равны (боковые), а одна отличается (основание).

Пусть \( b \) — длина боковой стороны, а \( a \) — длина основания.

Периметр \( P = 2b + a \).

По условию, \( P = 90 \) и \( b = 25 \).

\( 90 = 2 × 25 + a \)

\( 90 = 50 + a \)

\( a = 90 - 50 = 40 \)

Длина основания равна 40.

2. Найдём высоту равнобедренного треугольника.

Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, делит его пополам. Мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, половиной основания и высотой.

Половина основания: \( \frac{a}{2} = \frac{40}{2} = 20 \).

Пусть \( h \) — высота.

По теореме Пифагора: \( b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 \)

\( 25^2 = h^2 + 20^2 \)

\( 625 = h^2 + 400 \)

\( h^2 = 625 - 400 = 225 \)

\( h = √{225} = 15 \)

Высота треугольника равна 15.

3. Найдём площадь треугольника.

Площадь треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} × основание × высота \).

\( S = \frac{1}{2} × a × h \)

\( S = \frac{1}{2} × 40 × 15 \)

\( S = 20 × 15 = 300 \)

Площадь треугольника равна 300.

Ответ: 300.