3. (1 балл) Вычислите значение выражения:

Решение:

а) \( \frac{\sqrt[3]{81 \cdot 8^3}}{3} \)

1. Выделим полный куб из \( 81 \): \( 81 = 27 \cdot 3 = 3^3 \cdot 3 \).
2. Подставим: \( \frac{\sqrt[3]{3^3 \cdot 3 \cdot 8^3}}{3} \)
3. Извлечём корни: \( \frac{3 \cdot 8 \cdot \sqrt[3]{3}}{3} \)
4. Сократим: \( 8 \sqrt[3]{3} \)

б) \( \frac{\log_8 2 + \log_8 32}{25^{\log_{25} 2}} \)

1. Числитель: \( \log_8 2 + \log_8 32 = \log_8 (2 \cdot 32) = \log_8 64 \). Так как \( 8^2 = 64 \), то \( \log_8 64 = 2 \).
2. Знаменатель: \( 25^{\log_{25} 2} \). По свойству \( a^{\log_a b} = b \), знаменатель равен \( 2 \).
3. Вычислим дробь: \( \frac{2}{2} = 1 \)

в) \( \sin 390° \)

1. Воспользуемся периодичностью синуса: \( \sin 390° = \sin (360° + 30°) = \sin 30° \)
2. Значение \( \sin 30° = \frac{1}{2} \)

Ответ: а) \( 8\sqrt[3]{3} \); б) 1; в) \( \frac{1}{2} \).