2x \(\ge\) \(\log\)_2\(\left\)\(\frac{35}{3} \cdot 6^{x-1} - 2 \cdot 9^{x-\frac{1}{2}}\right\)

Решение:

Для решения данного логарифмического неравенства, сначала найдем область определения логарифма:

\( \frac{35}{3} \cdot 6^{x-1} - 2 \cdot 9^{x-\frac{1}{2}} > 0 \)

Разобьем степени:

\( \frac{35}{3} \cdot 6^x \cdot 6^{-1} - 2 \cdot 9^x \cdot 9^{-\frac{1}{2}} > 0 \)

\( \frac{35}{3} \cdot 6^x \cdot \frac{1}{6} - 2 \cdot 9^x \cdot \frac{1}{3} > 0 \)

\( \frac{35}{18} \cdot 6^x - \frac{2}{3} \cdot 9^x > 0 \)

Умножим обе части на 18:

\( 35 \cdot 6^x - 12 \cdot 9^x > 0 \)

Разделим на \( 6^x \) (так как \( 6^x > 0 \) для всех \( x \)):

\( 35 - 12 \cdot \left(\frac{9}{6}\right)^x > 0 \)

\( 35 - 12 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x > 0 \)

\( 35 > 12 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x \)

\( \frac{35}{12} > \left(\frac{3}{2}\right)^x \)

Возьмем логарифм по основанию \( \frac{3}{2} \) (основание больше 1, знак неравенства сохраняется):

\( \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{35}{12}\right) > x \)

\( x < \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{35}{12}\right) \)

Теперь вернемся к исходному неравенству:

\( 2x \ge \log_2\left(\frac{35}{3} \cdot 6^{x-1} - 2 \cdot 9^{x-\frac{1}{2}}\right) \)

Перепишем 2x как \( \log_2(2^{2x}) \):

\( \log_2(2^{2x}) \ge \log_2\left(\frac{35}{18} \cdot 6^x - \frac{2}{3} \cdot 9^x\right) \)

Так как основание логарифма 2 больше 1, то:

\( 2^{2x} \ge \frac{35}{18} \cdot 6^x - \frac{2}{3} \cdot 9^x \)

\( 4^x \ge \frac{35}{18} \cdot (2 · 3)^x - \frac{2}{3} \cdot (3^2)^x \)

\( 4^x \ge \frac{35}{18} \cdot 2^x \cdot 3^x - \frac{2}{3} \cdot 9^x \)

Разделим на \( 9^x \) (так как \( 9^x > 0 \)):

\( \frac{4^x}{9^x} \ge \frac{35}{18} \cdot \frac{2^x}{9^x} - \frac{2}{3} \)

\( \left(\frac{4}{9}\right)^x \ge \frac{35}{18} \cdot \left(\frac{2}{9}\right)^x - \frac{2}{3} \)

Это не самый простой путь. Давайте попробуем упростить выражение в логарифме:

\( \frac{35}{3} \cdot 6^{x-1} - 2 \cdot 9^{x-\frac{1}{2}} = \frac{35}{3} \cdot \frac{6^x}{6} - 2 \cdot \frac{9^x}{9^{\frac{1}{2}}} = \frac{35}{18} \cdot 6^x - 2 \cdot \frac{9^x}{3} = \frac{35}{18} \cdot 6^x - \frac{2}{3} \cdot 9^x \)

Пусть \( t = (3/2)^x \). Тогда \( 6^x = 2^x \cdot 3^x \) и \( 9^x = 3^{2x} \).

\( \frac{35}{18} \cdot 2^x \cdot 3^x - \frac{2}{3} \cdot 3^{2x} \)

Упростим исходное неравенство:

\( 2x \ge \log_2\left( \frac{35}{3} \cdot 6^{x-1} - 2 \cdot 9^{x-1/2} \right) \)

\( 2^{2x} \ge \frac{35}{3} \cdot 6^{x-1} - 2 \cdot 9^{x-1/2} \)

\( 4^x \ge \frac{35}{18} \cdot 6^x - \frac{2}{3} \cdot 9^x \)

Разделим на \( 4^x \) (т.к. \( 4^x > 0 \)):

\( 1 \ge \frac{35}{18} \cdot \left(\frac{6}{4}\right)^x - \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{9}{4}\right)^x \)

\( 1 \ge \frac{35}{18} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x - \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} \)

Пусть \( y = (3/2)^x \). Так как \( (3/2)^x > 0 \) для всех \( x \), то \( y > 0 \).

\( 1 \ge \frac{35}{18} y - \frac{2}{3} y^2 \)

Умножим на 18:

\( 18 \ge 35y - 12y^2 \)

\( 12y^2 - 35y + 18 \ge 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения \( 12y^2 - 35y + 18 = 0 \):

\[ D = (-35)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 18 = 1225 - 864 = 361 \]

\[ y_{1,2} = \frac{35 \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 12} = \frac{35 \pm 19}{24} \]

\[ y_1 = \frac{35 + 19}{24} = \frac{54}{24} = \frac{9}{4} \]

\[ y_2 = \frac{35 - 19}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3} \]

Таким образом, \( 12y^2 - 35y + 18 \ge 0 \) при \( y \le \frac{2}{3} \) или \( y \ge \frac{9}{4} \).

Подставим обратно \( y = (3/2)^x \):

\( (3/2)^x \le 2/3 \) или \( (3/2)^x \ge 9/4 \)

\( (3/2)^x \le (3/2)^{-1} \) или \( (3/2)^x \ge (3/2)^2 \)

Учитывая, что основание \( 3/2 > 1 \), получаем:

\( x \le -1 \) или \( x \ge 2 \).

Теперь нужно учесть область определения логарифма: \( x < \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{35}{12}\right) \).

\( \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{35}{12}\right) = \log_{1.5}(2.916...) \)

Так как \( (1.5)^1 = 1.5 \) и \( (1.5)^2 = 2.25 \) и \( (1.5)^3 = 3.375 \), то \( 2 < \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{35}{12}\right) < 3 \). Точнее, \( \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{35}{12}\right) \approx 2.3 \).

Итак, область определения: \( x < \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{35}{12}\right) \).

Объединяем полученные решения:

(\( x \le -1 \) или \( x \ge 2 \)) И (\( x < \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{35}{12}\right) \)).

Решение:

\( x \le -1 \) или \( 2 \le x < \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{35}{12}\right) \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -1] \cup [2; \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{35}{12}\right)) \).