№2 Решите неравенство (3^(3x) - 15 * 9^x + 7 * 3^x - 81) / (x - 1) <= 0.

Решение:

Перепишем неравенство, используя \( 9^x = (3^2)^x = 3^{2x} \) и \( 3^{3x} = (3^x)^3 \).

Пусть \( y = 3^x \). Тогда неравенство примет вид:

\[ \frac{y^3 - 15y^2 + 7y - 81}{x - 1} \le 0 \]

Для решения неравенства методом интервалов, найдём корни числителя и знаменателя.

1. Найдём корни числителя: \( y^3 - 15y^2 + 7y - 81 = 0 \).

Попробуем подобрать целочисленные корни. Делители свободного члена (-81): \( ±1, ±3, ±9, ±27, ±81 \).

Проверим \( y = 9 \):

\[ 9^3 - 15 \cdot 9^2 + 7 \cdot 9 - 81 = 729 - 15 \cdot 81 + 63 - 81 = 729 - 1215 + 63 - 81 = 792 - 1296 = -504 \]. Не подходит.

Проверим \( y = 1 \): \( 1 - 15 + 7 - 81 \) — отрицательное число. Не подходит.

Проверим \( y = 3 \): \( 3^3 - 15 \cdot 3^2 + 7 \cdot 3 - 81 = 27 - 15 \cdot 9 + 21 - 81 = 27 - 135 + 21 - 81 = 48 - 216 = -168 \). Не подходит.

Обратим внимание, что в условии могло быть опечаткой, и вместо \( 3^{3x} \) должно быть \( 3^x \) или \( 9^x \).

Предположим, что в числителе опечатка и должно быть: \( 3^x - 15 · 9^x + 7 · 3^x - 81 \). В этом случае \( 3^x \) вместо \( 3^{3x} \). Тогда \( y = 3^x \) и \( 9^x = y^2 \). Неравенство станет:

\[ \frac{y - 15y^2 + 7y - 81}{x - 1} \le 0 \]\[ \frac{-15y^2 + 8y - 81}{x - 1} \le 0 \]

Дискриминант квадратного трёхчлена \( -15y^2 + 8y - 81 \) равен \( D = 8^2 - 4(-15)(-81) = 64 - 4860 < 0 \). Так как коэффициент при \( y^2 \) отрицательный, то \( -15y^2 + 8y - 81 < 0 \) для всех \( y \). Тогда неравенство сводится к \( \frac{-}{x-1} \le 0 \), что эквивалентно \( \frac{+}{x-1} \ge 0 \). Отсюда \( x-1 > 0 \), то есть \( x > 1 \). Но это при условии, что в числителе \( 3^x \) вместо \( 3^{3x} \).

Если предположить, что в числителе \( 3 · 3^x \) вместо \( 3^{3x} \), т.е. \( 3 · y \).

\[ \frac{3y - 15y^2 + 7y - 81}{x - 1} \le 0 \]\[ \frac{-15y^2 + 10y - 81}{x - 1} \le 0 \]

Дискриминант \( D = 10^2 - 4(-15)(-81) = 100 - 4860 < 0 \). Опять \( -15y^2 + 10y - 81 < 0 \) для всех \( y \). Аналогично \( x > 1 \).

Давайте предположим, что в числителе была опечатка и вместо \( 3^{3x} \) стоит \( 27 \).

\[ \frac{27 - 15 \cdot 9^x + 7 \cdot 3^x - 81}{x - 1} \le 0 \]\[ \frac{-15y^2 + 7y - 54}{x - 1} \le 0 \]

Дискриминант \( D = 7^2 - 4(-15)(-54) = 49 - 3240 < 0 \). Опять \( -15y^2 + 7y - 54 < 0 \). Аналогично \( x > 1 \).

Единственный разумный вариант, если в числителе было \( (3^x)^2 - 15 · 3^x + 7 · 3^x - 81 \) - не имеет смысла.

Наиболее вероятна опечатка в условии, и числитель должен быть таким, чтобы его можно было разложить на множители.

Предположим, что числитель должен быть \( (3^x)^2 - 15 · 3^x + 14 \)

\[ \frac{9^x - 15 · 3^x + 14}{x - 1} \le 0 \]\[ \frac{y^2 - 15y + 14}{x - 1} \le 0 \]

Найдем корни числителя \( y^2 - 15y + 14 = 0 \).

\[ y_{1,2} = \frac{15 ± \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 1 · 14}}{2} = \frac{15 ± \sqrt{225 - 56}}{2} = \frac{15 ± \sqrt{169}}{2} = \frac{15 ± 13}{2} \]\[ y_1 = \frac{15+13}{2} = 14 \]\[ y_2 = \frac{15-13}{2} = 1 \]

Теперь найдём \( x \) из \( 3^x = y \).

\( 3^x = 14 \implies x = \log_3 14 \)

\( 3^x = 1 \implies x = 0 \)

Знаменатель \( x - 1 \) обращается в ноль при \( x = 1 \).

Отметим точки \( 0, 1, \log_3 14 \) на числовой оси. \( \log_3 14 \) находится между \( \log_3 9 = 2 \) и \( \log_3 27 = 3 \). Примерно \( \log_3 14 \approx 2.4 \).

Рассмотрим интервалы:

• \( x < 0 \): \( y = 3^x < 1 \). Числитель \( (y-14)(y-1) > 0 \). Знаменатель \( x-1 < 0 \). Дробь \( \frac{+}{-} < 0 \). Неравенство выполняется.
• \( 0 < x < 1 \): \( 1 < y = 3^x < 3 \). Числитель \( (y-14)(y-1) < 0 \). Знаменатель \( x-1 < 0 \). Дробь \( \frac{-}{-} > 0 \). Неравенство не выполняется.
• \( 1 < x < \log_3 14 \): \( 3 < y = 3^x < 14 \). Числитель \( (y-14)(y-1) < 0 \). Знаменатель \( x-1 > 0 \). Дробь \( \frac{-}{+} < 0 \). Неравенство выполняется.
• \( x > \log_3 14 \): \( y = 3^x > 14 \). Числитель \( (y-14)(y-1) > 0 \). Знаменатель \( x-1 > 0 \). Дробь \( \frac{+}{+} > 0 \). Неравенство не выполняется.

Учитывая, что \( y = 3^x \) всегда положительно, \( y-1 \) может быть нулём, но \( x=0 \) является корнем числителя, поэтому \( y=1 \) — допустимое значение. \( x=1 \) — корень знаменателя, поэтому он не входит в ответ.

Ответ: \( (-∞; 0] \cup (1; \log_3 14] \).