2cos^2 x - 3sqrt(2) cos x + 2 = 0.

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \( \cos x \). Пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2y^2 - 3\sqrt{2}y + 2 = 0 \]

1. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = \left(-3\sqrt{2}\right)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = (9 \cdot 2) - 16 = 18 - 16 = 2 \]

2. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2} \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

3. Теперь вернёмся к \( x \), подставив \( \cos x \) вместо \( y \):

Случай 1: \( \cos x = \sqrt{2} \).

Так как \( \sqrt{2} \approx 1.414 \), а значение косинуса не может быть больше 1, это уравнение не имеет решений.

Случай 2: \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Это частный случай. Основные значения \( x \), для которых \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \), это \( x = \frac{\pi}{4} \) и \( x = -\frac{\pi}{4} \) (или \( x = \frac{7\pi}{4} \)).

Общее решение уравнения:

\[ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \).