29. Дорога от дома до школы занимает у Коли 20 мин. Однажды по дороге он вспомнил, что забыл дома ручку. Коля знал, что если он продолжит путь в школу с той же скоростью, то придёт за 8 мин до звонка, а если вернётся домой за ручкой, то, идя с той же скоростью, опоздает к началу урока на 10 мин. Какую часть пути он прошёл до того, как вспомнил, что забыл дома ручку?

Решение:

1. Пусть всё расстояние от дома до школы равно \( S \) км, а обычное время в пути \( t = 20 \) мин.
2. Скорость Коли: \( v = \frac{S}{t} = \frac{S}{20} \) км/мин.
3. Когда Коля вспомнил, что забыл ручку, он прошёл какое-то расстояние \( x \) км.
4. Время, затраченное на этот путь: \( t_1 = \frac{x}{v} = \frac{x}{S/20} = \frac{20x}{S} \) мин.
5. Оставшееся расстояние до школы: \( S - x \) км.
6. Если бы Коля пошёл дальше в школу, он бы пришёл за 8 мин до звонка. Это значит, что время от места, где он вспомнил, до школы составляет \( 20 - t_1 - 8 \) мин.
7. \( S - x = v \cdot (20 - t_1 - 8) \)
8. \( S - x = \frac{S}{20} \cdot (12 - \frac{20x}{S}) \)
9. \( S - x = 12 \cdot \frac{S}{20} - \frac{20x}{S} \cdot \frac{S}{20} \)
10. \( S - x = \frac{12S}{20} - x \)
11. \( S = \frac{12S}{20} \). Это уравнение неверно, так как \( S \) не может быть равно \( 0 \) и \( 12/20 \). Проанализируем условие иначе.
12. Пусть \( t_1 \) — время, которое Коля уже прошёл, а \( t_2 \) — время, которое ему осталось идти до школы, если бы он не вернулся. Тогда \( t_1 + t_2 = 20 \) мин.
13. Если Коля продолжит идти, то придёт за 8 мин до звонка. Значит, \( t_2 = 20 - t_1 - 8 \) мин.
14. Если Коля вернётся домой за ручкой, он пройдёт \( x \) км назад, а затем пройдёт \( S \) км до школы. Общее время в пути будет \( t_1 + t_1 + 20 \) мин. Он опоздает на 10 мин, значит, \( t_1 + t_1 + 20 = 20 + 10 \) мин.
15. \( 2t_1 = 10 \) мин.
16. \( t_1 = 5 \) мин.
17. Это время, которое Коля прошёл до того, как вспомнил, что забыл ручку.
18. Чтобы найти, какую часть пути он прошёл, нужно разделить время, которое он уже шёл, на общее время в пути: \( \frac{t_1}{t} = \frac{5 \text{ мин}}{20 \text{ мин}} \).
19. \( \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \).

Ответ: 1/4.