273. Андрей вышел из пункта А в 10:18 и, двигаясь с постоянной скоростью, пришёл в пункт Б в 13:30. Тот же день Борис вышел из Б в 9:00 и, идя по той же дороге с постоянной скоростью, пришёл в А в 11:40. Дорога пересекает реку. Андрей и Борис одновременно подошли к мосту через эту реку, каждый со своей стороны. Андрей ушёл с моста на одну минуту позже Бориса. Когда они подошли к мосту?

Решение:

1. Время в пути Андрея: 13:30 - 10:18 = 3 часа 12 минут = \( 3 + \frac{12}{60} = 3.2 \) часа.

2. Время в пути Бориса: 11:40 - 9:00 = 2 часа 40 минут = \( 2 + \frac{40}{60} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \) часа.

3. Пусть:

• \( S \) — расстояние между пунктами А и Б (в км);
• \( v_A \) — скорость Андрея (в км/ч);
• \( v_B \) — скорость Бориса (в км/ч).

Тогда:

• \( S = v_A \cdot 3.2 \)
• \( S = v_B \cdot \frac{8}{3} \)

Отсюда:

• \( v_A = \frac{S}{3.2} = \frac{S}{16/5} = \frac{5S}{16} \)
• \( v_B = \frac{S}{8/3} = \frac{3S}{8} \)

4. Пусть:

• \( t \) — время (в часах) от начала отсчёта (9:00) до момента, когда они подошли к мосту.
• \( S_M \) — расстояние от пункта А до моста.

Андрей:

• Он вышел в 10:18, то есть через \( 1 \) час \( 18 \) минут = \( 1.3 \) часа после 9:00.
• Время движения Андрея до моста: \( t - 1.3 \).
• Расстояние, которое прошёл Андрей до моста: \( S_M = v_A \cdot (t - 1.3) \).

Борис:

• Он вышел в 9:00.
• Время движения Бориса до моста: \( t \).
• Расстояние, которое прошёл Борис до моста: \( S - S_M = v_B \cdot t \).

5. Составим уравнение:

\[ S_M = \frac{5S}{16} \cdot (t - 1.3) \]\[ S - S_M = \frac{3S}{8} \cdot t \]

Подставим \( S_M \) из первого уравнения во второе:

\[ S - \frac{5S}{16} \cdot (t - 1.3) = \frac{3S}{8} \cdot t \]

Разделим обе части на \( S \) (так как \( S \) ≠ 0):

\[ 1 - \frac{5}{16}(t - 1.3) = \frac{3}{8}t \]

Умножим обе части на 16, чтобы избавиться от дробей:

\[ 16 - 5(t - 1.3) = 6t \]

Раскроем скобки:

\[ 16 - 5t + 6.5 = 6t \]

Соберём \( t \) в правой части, а числа — в левой:

\[ 16 + 6.5 = 6t + 5t \]

\( 22.5 = 11t \)
\( t = \frac{22.5}{11} = \frac{225}{110} = \frac{45}{22} \) часа.

6. Переведём время в часы и минуты:

\[ t = \frac{45}{22} \text{ часа} = 2 \frac{1}{22} \text{ часа} = 2 \text{ часа} + \frac{1}{22} \cdot 60 \text{ минут} \]
\( \frac{60}{22} = \frac{30}{11} \approx 2.73 \) минуты. \( \approx 2 \) минуты \( 44 \) секунды.

7. Определим время подхода к мосту:

К мосту они подошли через \( t = \frac{45}{22} \) часа после 9:00.

\[ 9:00 + \frac{45}{22} \text{ часа} \]\[ 9 \text{ ч} + 2 \text{ ч} + \frac{1}{22} \cdot 60 \text{ мин} \]\[ 11 \text{ ч} + \frac{30}{11} \text{ мин} \]
\( 11 \text{ ч} + 2 \text{ мин} + \frac{8}{11} \cdot 60 \text{ сек} \approx 11 \text{ ч } 2 \text{ мин } 44 \text{ сек} \)

Проверим условие про мост:

Андрей прошёл \( S_M = \frac{5S}{16} \cdot (\frac{45}{22} - 1.3) = \frac{5S}{16} \cdot (\frac{45}{22} - \frac{13}{10}) = \frac{5S}{16} \cdot (\frac{45}{22} - \frac{143}{110}) = \frac{5S}{16} \cdot (\frac{225}{110} - \frac{143}{110}) = \frac{5S}{16} \cdot \frac{82}{110} = \frac{5S}{16} \cdot \frac{41}{55} = \frac{S}{16} \cdot \frac{41}{11} = \frac{41S}{176} \).

Борис прошёл \( S - S_M = \frac{3S}{8} \cdot \frac{45}{22} = \frac{135S}{176} \).

Время, когда Андрей ушёл с моста: \( t_A = t + 1 \text{ мин} = \frac{45}{22} \text{ часа} + \frac{1}{60} \text{ часа} = \frac{45 \times 30 + 22}{660} = \frac{1350+22}{660} = \frac{1372}{660} \) часа.

Время, когда Борис ушёл с моста: \( t_B = t = \frac{45}{22} \) часа.

Андрей ушёл на 1 минуту позже Бориса, что соответствует условию.

Ответ: Они подошли к мосту в 11:02:44.