270. Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7?

Всего натуральных чисел меньше 1000 — 999.

По формуле включений-исключений найдём, сколько из них делятся хотя бы на одно из чисел 3, 5 или 7:

Делятся на 3, 5 или 7: \(\left\lfloor\frac{999}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{999}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{999}{7}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{999}{15}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{999}{21}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{999}{35}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{999}{105}\right\rfloor=333+199+142-66-47-28+9=542.

Вычтем это количество из общего числа: \(999-542=457\).

Ответ: 457 натуральных чисел.