267 В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ углы А и А₁ - прямые, BD и B₁D₁ - биссектрисы. Докажите, что ∆АВС = ∆А₁В₁С₁, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.

Доказательство:

Нам даны два прямоугольных треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \), где \( \boldsymbol{\angle A = \angle A_1 = 90^{\circ}} \). Также дано, что \( BD \) и \( B_1D_1 \) — биссектрисы, \( \boldsymbol{\angle B = \angle B_1} \) и \( \boldsymbol{BD = B_1D_1} \).

Шаг 1: Найдём углы C и C₁.

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \): \( \boldsymbol{\angle C = 90^{\circ} - \angle B} \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle A_1B_1C_1 \): \( \boldsymbol{\angle C_1 = 90^{\circ} - \angle B_1} \).

Так как \( \boldsymbol{\angle B = \angle B_1} \), то \( \boldsymbol{\angle C = \angle C_1} \).

Шаг 2: Рассмотрим треугольники \( \boldsymbol{\triangle ABD} \) и \( \boldsymbol{\triangle A_1B_1D_1} \).

Мы знаем, что \( \boldsymbol{\angle A = \angle A_1 = 90^{\circ}} \), \( \boldsymbol{\angle B = \angle B_1} \), и \( \boldsymbol{BD = B_1D_1} \).

Так как \( BD \) — биссектриса угла \( B \), то \( \boldsymbol{\angle ABD = \frac{1}{2} \angle B} \).

Так как \( B_1D_1 \) — биссектриса угла \( B_1 \), то \( \boldsymbol{\angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2} \angle B_1} \).

Следовательно, \( \boldsymbol{\angle ABD = \angle A_1B_1D_1} \).

Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle A_1B_1D_1 \). У них равны:

1. Угол \( \boldsymbol{\angle A = \angle A_1 = 90^{\circ}} \).

2. Угол \( \boldsymbol{\angle ABD = \angle A_1B_1D_1} \).

3. Сторона \( \boldsymbol{BD = B_1D_1} \) (дано).

По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу (второй признак равенства треугольников, если рассматривать \( \triangle ABD \) и \( \triangle A_1B_1D_1 \) как общие треугольники, то это признак равенства по стороне и двум прилежащим углам — УСУ, где \( BD \) и \( B_1D_1 \) — стороны, а \( \boldsymbol{\angle B} \) и \( \boldsymbol{\angle B_1} \), \( \boldsymbol{\angle BAD} \) и \( \boldsymbol{\angle B_1A_1D_1} \) — углы. Но так как \( \boldsymbol{\angle A = \angle A_1} \) — прямые, то проще использовать признак для прямоугольных треугольников).

Из равенства \( \boldsymbol{\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1} \) следует равенство соответствующих сторон:

\( \boldsymbol{AB = A_1B_1} \).

Шаг 3: Сравним треугольники \( \boldsymbol{\triangle ABC} \) и \( \boldsymbol{\triangle A_1B_1C_1} \).

Теперь у нас есть:

1. \( \boldsymbol{AB = A_1B_1} \) (доказано выше).

2. \( \boldsymbol{\angle B = \angle B_1} \) (дано).

3. \( \boldsymbol{\angle A = \angle A_1 = 90^{\circ}} \) (дано).

По первому признаку равенства треугольников (УСУ — угол-сторона-угол), \( \boldsymbol{\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1} \).

Доказано.