26 Глава 1 1.4 Умножение и деление алгебраических дробей

1.4 Умножение и деление алгебраических дробей

Умножение дробей: Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели. Первое произведение записать в числителе, второе — в знаменателе.

Деление дробей: Чтобы разделить дробь на дробь, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Правила в буквенном виде:

• Умножение: \( \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D} \)
• Деление: \( \frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C} \)

Пример 1. Найдём произведение и частное дробей:

Произведение:

$$ \frac{2}{3x^2y} \cdot \frac{3x}{4y} = \frac{2 \cdot 3x}{3x^2y \cdot 4y} = \frac{6x}{12x^2y^2} = \frac{1}{2xy^2} $$

Частное:

$$ \frac{2}{3x^2y} : \frac{3x}{4y} = \frac{2}{3x^2y} \cdot \frac{4y}{3x} = \frac{2 \cdot 4y}{3x^2y \cdot 3x} = \frac{8y}{9x^3y} = \frac{8}{9x^3} $$

Пример 2. Преобразуем в дробь произведение:

$$ \frac{2x^2}{x^2-y^2} \cdot \frac{x+y}{x} = \frac{2x^2 \cdot (x+y)}{(x^2-y^2) \cdot x} = \frac{2x^2 \cdot (x+y)}{(x-y)(x+y) \cdot x} = \frac{2x}{x-y} $$

Пример 3. Преобразуем в дробь частное:

$$ \frac{x^2-xy}{y} : \frac{x-y}{y^2} = \frac{x^2-xy}{y} \cdot \frac{y^2}{x-y} = \frac{x(x-y)}{y} \cdot \frac{y^2}{x-y} = xy $$

Пример 4. Выполним умножение дроби \( \frac{ab}{2d} \) на одночлен \( 4bd \):

$$ \frac{ab}{2d} \cdot 4bd = \frac{ab \cdot 4bd}{2d} = \frac{4ab^2d}{2d} = 2ab^2 $$

Пример 5. Разделим дробь \( \frac{5a^2b}{6} \) на одночлен \( 10abc \):

$$ \frac{5a^2b}{6} : 10abc = \frac{5a^2b}{6} \cdot \frac{1}{10abc} = \frac{5a^2b}{60abc} = \frac{a}{12c} $$

73. Выполните умножение:

а) \( \frac{a}{5} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{10} \)

б) \( \frac{m}{3} \cdot \frac{m}{3} = \frac{m^2}{9} \)

в) \( \frac{2a^2}{x} \cdot \frac{a^2}{x} = \frac{2a^4}{x^2} \)

г) \( \frac{1}{a-1} \cdot \frac{2}{a-1} = \frac{2}{(a-1)^2} \)

74. Выполните деление:

а) \( \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{d} = \frac{1}{ad} \)

б) \( \frac{n+3}{2} : \frac{1}{n+3} = \frac{n+3}{2} \cdot (n+3) = \frac{(n+3)^2}{2} \)

в) \( \frac{n}{m^2} \cdot \frac{m}{n} = \frac{1}{m} \)

г) \( \frac{1}{b+5} \cdot \frac{b-5}{b} = \frac{b-5}{b(b+5)} \)

75. Выполните действия:

а) \( \frac{a}{bc} \cdot \frac{c^3}{3a} = \frac{ac^2}{3b} \)

б) \( \frac{x^2}{y} : \frac{x}{2y^2} = \frac{x^2}{y} \cdot \frac{2y^2}{x} = 2xy \)

в) \( \frac{x^2-xy}{y} \cdot \frac{y^2}{x-y} = xy \)

г) \( \frac{a^4}{b^3} \cdot \frac{a^3}{b^2} = \frac{a^7}{b^5} \)

д) \( \frac{a^4b^2}{5xy} \cdot \frac{10x^3}{a^2b^2} = \frac{10a^4b^2x^3}{5a^2b^2xy} = 2a^2x^2 \)

е) \( \frac{3mn}{2pq^2} \cdot \frac{6m^2}{pq} = \frac{18m^3n}{2pq^3} = \frac{9m^3n}{pq^3} \)