25. В треугольнике ABC проведены отрезки BM к стороне AC и AF к стороне BC. Данные отрезки пересекаются в точке T. Найди отношение площади четырёхугольника TFCM к площади треугольника ATB, если AM = CM, ∠CAF = ∠BAF, AB : AC = 1 : 4.

Так как AM = CM, отрезок BM — медиана.

По теореме о биссектрисе:

\(BF:FC=AB:AC=1:4\).

Введём координаты: \(A=(0,0)\), \(B=(1,0)\), а точку \(C\) обозначим как второй базисный вектор. Тогда:

\(M=\left(0,\frac12\right)\), \(F=\left(\frac45,\frac15\right)\).

Точка \(T\) лежит на медиане \(BM\) и биссектрисе \(AF\). Их пересечение даёт:

\(T=\left(\frac23,\frac16\right)\).

Площадь четырёхугольника \(TFCM\), вычисленная по формуле площади многоугольника, равна \(\frac7{30}S\), где \(S\) — площадь параллелограмма на векторах \(AB\) и \(AC\).

Площадь треугольника \(ATB\) равна \(\frac1{12}S\).

Следовательно,

\[\frac{S_{TFCM}}{S_{ATB}}=\frac{\frac7{30}S}{\frac1{12}S}=\frac{14}{5}.\]

Ответ: 14:5