25 Три окружности с центрами А, В и С и радиусами 5, 1 и 9 соответственно попарно касаются внешним образом. Найдите угол АВС.

Решение:

Пусть окружности имеют центры A, B, C и радиусы r_A = 5, r_B = 1, r_C = 9 соответственно.

Поскольку окружности касаются внешним образом, расстояние между центрами равно сумме их радиусов.

1. Расстояние между центрами A и B:

AB = r_A + r_B = 5 + 1 = 6.

2. Расстояние между центрами B и C:

BC = r_B + r_C = 1 + 9 = 10.

3. Расстояние между центрами A и C:

AC = r_A + r_C = 5 + 9 = 14.

Мы имеем треугольник ABC со сторонами AB = 6, BC = 10, AC = 14.

Для нахождения угла ABC, мы можем использовать теорему косинусов:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) \]

\[ 14^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(\angle ABC) \]

\[ 196 = 36 + 100 - 120 \cdot \cos(\angle ABC) \]

\[ 196 = 136 - 120 \cdot \cos(\angle ABC) \]

\[ 196 - 136 = -120 \cdot \cos(\angle ABC) \]

\[ 60 = -120 \cdot \cos(\angle ABC) \]

\[ \cos(\angle ABC) = \frac{60}{-120} \]

\[ \cos(\angle ABC) = -0.5 \]

Зная, что косинус угла равен -0.5, мы можем найти сам угол:

\[ \angle ABC = \arccos(-0.5) \]

\[ \angle ABC = 120^{\circ} \]

Ответ: 120°