25. Точки Р и Q лежат на тороне МК треугольника MNK на расстояниях соответственно 8 и 12 от вершины М. Найди радиус окружности, проходящей через точки Р и Q и касающейся луча MN, если cos ∠NMK = √6/4. В ответе укажи полученное число, делённое на √10.

Решение:

Обозначим радиус окружности как R. Пусть O — центр окружности. Так как окружность касается луча MN, расстояние от центра O до прямой MN равно радиусу R. Обозначим точку касания как T.

В прямоугольном треугольнике ΔOTM, имеем:

\( OM = \frac{OT}{\sin(\angle OMT)} \)

По условию, \( \cos(\angle NMK) = \frac{\sqrt{6}}{4} \).

Найдём \( \sin(\angle NMK) \):

\[ \sin(\angle NMK) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle NMK)} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{6}{16}} = \sqrt{\frac{10}{16}} = \frac{\sqrt{10}}{4} \]

Так как окружность касается луча MN, то \( \angle OMT = \angle NMK \). Следовательно, \( \sin(\angle OMT) = \frac{\sqrt{10}}{4} \).

По условию, точки P и Q лежат на стороне MK на расстояниях 8 и 12 от вершины M. Пусть M — начало координат, а луч MK — часть оси абсцисс.

Координаты точек P и Q: \( P(8, 0) \) и \( Q(12, 0) \).

Центр окружности O лежит на перпендикуляре к MK, проходящем через середину отрезка PQ. Середина отрезка PQ: \( x_0 = \frac{8+12}{2} = 10 \).

Таким образом, центр окружности имеет координату \( x_0 = 10 \). Обозначим центр как \( O(10, y_0) \). Расстояние от центра O до точки P (или Q) равно радиусу R.

\( R^2 = (10-8)^2 + (y_0-0)^2 = 2^2 + y_0^2 = 4 + y_0^2 \)

Также, расстояние от центра O до прямой MN равно радиусу R. Если луч MN проходит под углом \( \alpha = \angle NMK \) к MK, то в системе координат, где M=(0,0), MK — ось X, луч MN — прямая \( y = x \tan(\alpha) \). Однако, проще использовать тот факт, что расстояние от O до MN равно R. Если луч MN образует угол \( \alpha \) с MK, то расстояние от \( O(10, y_0) \) до прямой, проходящей через \( (0,0) \) с углом \( \alpha \), равно \( R \).

В треугольнике ΔOTM (где T — точка касания на MN), OM = 10 (расстояние от M до центра окружности по оси MK). OT = R. \( \angle OMT = \angle NMK \).

\( OT = OM \sin(\angle OMT) \)

\( R = 10 \cdot \frac{\sqrt{10}}{4} = \frac{10\sqrt{10}}{4} = \frac{5\sqrt{10}}{2} \)

Теперь найдём \( y_0 \) из равенства \( R^2 = 4 + y_0^2 \):

\[ \left(\frac{5\sqrt{10}}{2}\right)^2 = 4 + y_0^2 \]

\[ \frac{25 × 10}{4} = 4 + y_0^2 \]

\[ \frac{250}{4} = 4 + y_0^2 \]

\[ \frac{125}{2} = 4 + y_0^2 \]

\[ y_0^2 = \frac{125}{2} - 4 = \frac{125 - 8}{2} = \frac{117}{2} \]

\( y_0 = \pm \sqrt{\frac{117}{2}} \) .

Найдём радиус R, используя равенство \( R = OM \sin(\angle OMT) \) где OM = 10, \( \sin(\angle OMT) = \frac{\sqrt{10}}{4} \). Это не совсем верно, так как OM не обязательно равно 10. OM - это расстояние от M до центра. T - точка касания.

Пусть центр окружности O имеет координаты \( (x_c, y_c) \). Пусть M — начало координат (0,0). Луч MN образует угол \( \alpha \) с MK, где \( \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{4} \) и \( \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{10}}{4} \). Уравнение луча MN: \( y = x \tan(\alpha) \) или \( x \sin(\alpha) - y \cos(\alpha) = 0 \) (если луч направлен в первую четверть).

Точки P и Q имеют координаты \( (8, 0) \) и \( (12, 0) \).

Центр окружности \( O(x_c, y_c) \) равноудалён от P и Q. Значит, \( x_c = \frac{8+12}{2} = 10 \).

Расстояние от O до P равно R: \( R^2 = (10-8)^2 + (y_c-0)^2 = 4 + y_c^2 \).

Расстояние от O до луча MN равно R:

\[ R = \frac{|10 \sin(\alpha) - y_c \cos(\alpha)|}{\sqrt{\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)}} = |10 \sin(\alpha) - y_c \cos(\alpha)| \]

\[ R = \left|10 \cdot \frac{\sqrt{10}}{4} - y_c \cdot \frac{\sqrt{6}}{4}\right| = \left|\frac{10\sqrt{10}}{4} - \frac{y_c\sqrt{6}}{4}\right| \]

Подставим \( y_c^2 = R^2 - 4 \):

\[ R = \left|\frac{5\sqrt{10}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{4} \sqrt{R^2-4}\right| \]

Рассмотрим случай, когда луч MN проходит так, что центр окружности находится