25. При каких целых значениях m значение выражения является целым числом: а) (m − 3)²/m; б) (4m + 3)²/(2m + 3); в) ((5m + 6)(m − 1))/(5m + 1)?

а) Здесь m ≠ 0. Разложим числитель:

\(\dfrac{(m-3)^2}{m}=\dfrac{m^2-6m+9}{m}=m-6+\dfrac{9}{m}\).

Так как m − 6 — целое число, выражение будет целым тогда и только тогда, когда 9 делится на m. Значит, m — ненулевой делитель числа 9.

Ответ: а) \(m\in\{-9,-3,-1,1,3,9\}\).

б) Обозначим \(d=2m+3\). Тогда \(4m+3=2d-3\), поэтому

\(\dfrac{(4m+3)^2}{2m+3}=\dfrac{(2d-3)^2}{d}=4d-12+\dfrac{9}{d}\).

Поскольку d — целое число, выражение целое тогда и только тогда, когда d — делитель 9. Для каждого ненулевого делителя d числа 9 получаем целое m по формуле \(m=(d-3)/2\): значения m равны −6, −3, −2, −1, 0 и 3. При этих значениях знаменатель не равен нулю.

Ответ: б) \(m\in\{-6,-3,-2,-1,0,3\}\).

в) Числитель раскладывается так: \((5m+6)(m-1)=5m^2+m-6\). Делим его на знаменатель:

\(\dfrac{5m^2+m-6}{5m+1}=m-\dfrac{6}{5m+1}\).

При целых m знаменатель \(5m+1\) не равен нулю. Выражение целое, если \(5m+1\) делит 6. Среди делителей 6 только 1 и 6 имеют вид \(5m+1\): они дают m = 0 и m = 1.

Ответ: в) \(m\in\{0,1\}\).