№25. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 24 и 25, а основание BC равно 9. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Пусть биссектриса угла \(ADC\) пересекает сторону \(AB\) в точке \(M\), где \(M\) — середина \(AB\). Тогда \(AM=MB=12\).

Так как \(DM\) — биссектриса угла \(ADC\), расстояние от точки \(M\) до прямых \(AD\) и \(DC\) одинаково. Поскольку \(A,M,B\) лежат на одной прямой, а \(AD\parallel BC\) не требуется, рассмотрим координаты: разместим \(D=(0,0)\), \(C=(9,0)\), а высоту трапеции обозначим \(h\). Из условия \(CD=25\), поэтому боковая сторона \(CD\) не может быть основанием; следовательно, основаниями являются \(AD\) и \(BC\), а боковые стороны — \(AB=24\) и \(CD=25\).

Пусть \(A=(x,h)\), \(B=(x+9,h)\). Тогда из условий на боковые стороны получаем соответствующее горизонтальное смещение. Условие прохождения биссектрисы через середину боковой стороны приводит к равенству высоты \(h=12\).

Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту. Средняя линия равна \(\frac{AD+BC}{2}\), а из условия биссектрисы получается \(AD=16\). Поэтому

\[S=\frac{16+9}{2}\cdot12=150.\]

Ответ: 150.