248. Упростите выражение: а) $\left(x-\frac{4xy}{x+y}+y\right)\cdot\left(x+\frac{4xy}{x-y}-y\right)$; б) $\left\(a-\frac{1-2a^2}{1-a}+1\right$:$\left$$1-\frac{1}{1-a}\right$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 248. Упростите выражение: а) $\left(x-\frac{4xy}{x+y}+y\right)\cdot\left(x+\frac{4xy}{x-y}-y\right)$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а)

Преобразуем первый множитель:

\[x-\frac{4xy}{x+y}+y=x+y-\frac{4xy}{x+y}=\frac{(x+y)^2-4xy}{x+y}=\frac{(x-y)^2}{x+y}.\]

Преобразуем второй множитель:

\[x+\frac{4xy}{x-y}-y=x-y+\frac{4xy}{x-y}=\frac{(x-y)^2+4xy}{x-y}=\frac{(x+y)^2}{x-y}.\]

Тогда

\[\frac{(x-y)^2}{x+y}\cdot\frac{(x+y)^2}{x-y}=(x-y)(x+y)=x^2-y^2.\]

Ограничения: $x+y\ne0$, $x-y\ne0$.

б)

Упростим делимое:

\[a-\frac{1-2a^2}{1-a}+1=a+1-\frac{1-2a^2}{1-a}\]

\[=\frac{(a+1)(1-a)-(1-2a^2)}{1-a}=\frac{1-a^2-1+2a^2}{1-a}=\frac{a^2}{1-a}.\]

Упростим делитель:

\[1-\frac{1}{1-a}=\frac{1-a-1}{1-a}=\frac{-a}{1-a}.\]

Выполним деление:

\[\frac{a^2}{1-a}:\frac{-a}{1-a}=\frac{a^2}{1-a}\cdot\frac{1-a}{-a}=-a.\]

Ограничения: $a\ne1$, а также делитель не должен быть равен нулю, поэтому $a\ne0$.

Ответ: а) $x^2-y^2$, $x\ne\pm y$; б) $-a$, $a\ne0,1$.

248. Упростите выражение: а) \(\left(x-\frac{4xy}{x+y}+y\right)\cdot\left(x+\frac{4xy}{x-y}-y\right)\); б) \(\left\(a-\frac{1-2a^2}{1-a}+1\right\):\(\left\)\(1-\frac{1}{1-a}\right\).