24. Segment HJ intersects segment IK at L in the figure above. If HJ ∥ JK, what is the length of segment HJ?

По рисунку: \(HL=3\), \(LK=9\), \(HJ\) и \(IK\) пересекаются в точке \(L\), причём \(HI ∥ JK\). Поэтому треугольники \(\triangle HIL\) и \(\triangle JKL\) подобны.

Соответствующие стороны пропорциональны:

\(\dfrac{HL}{LK}=\dfrac{HI}{JK}=\dfrac{3}{9}=\dfrac13\).

Также на рисунке \(HL=3\), \(HK=5\), поэтому в малом прямоугольном треугольнике:

\(IL=\sqrt{HK^2-HL^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\).

Из подобия \(\dfrac{IL}{LJ}=\dfrac{1}{3}\), значит \(LJ=12\). Тогда

\(HJ=HL+LJ=3+12=15\).

Ответ: 15.