23. Точка Н является основанием высоты ВН, проведённой из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно. Найдите РК, если BH = 14.

Question

23. Точка Н является основанием высоты ВН, проведённой из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно. Найдите РК, если BH = 14.

Фото задания

Accepted Answer

Задание 23. Окружность и прямоугольный треугольник

Дано:

Прямоугольный треугольник ABC, $ \angle B = 90^\circ $.
BH — высота, $ H $ — основание.
Окружность с диаметром BH.
Окружность пересекает AB в точке P, CB в точке K.
$ BH = 14 $.

Найти: длину отрезка PK.

Решение:

Свойство окружности: Точки P и K лежат на окружности, диаметром которой является BH. Поскольку $ \angle BPH $ и $ \angle BKH $ являются вписанными углами, опирающимися на диаметр (или являющимися частями углов, опирающихся на диаметр), то углы $ \angle BPH $ и $ \angle BKH $ равны 90°.

То есть, $ BP \perp PH $ и $ BK \perp KH $. Но поскольку H лежит на прямой AB, а K на прямой CB, то $ BP \perp PK $ и $ BK \perp KP $. Это означает, что $ \angle BPK = 90^\circ $ и $ \angle BKP = 90^\circ $.
Рассмотрим треугольник PBK:

Угол $ \angle PBK $ совпадает с $ \angle ABC $, который равен 90°.

Точка P лежит на AB, точка K лежит на CB.

Вписанный угол $ \angle BPK $ опирается на диаметр BH. Значит, $ \angle BPH = 90^\circ $. Так как H лежит на AB, это означает, что $ \angle BPK = 90^\circ $.

Аналогично, вписанный угол $ \angle BKH $ опирается на диаметр BH. Значит, $ \angle BKH = 90^\circ $. Так как H лежит на CB, это означает, что $ \angle BKP = 90^\circ $.

Важное замечание: Окружность с диаметром BH будет иметь прямые углы при точках P и K, если P и K являются точками пересечения с гипотенузой AC. Однако в условии сказано, что окружность пересекает стороны AB и CB. Высота BH из прямого угла B падает на гипотенузу AC. Если окружность с диаметром BH пересекает катеты AB и CB, то это означает, что углы $ \angle BPH $ и $ \angle BKH $ равны 90 градусов. Это возможно только если H лежит на AC, а P на AB, K на CB. В этом случае, $ \angle BPH = 90^\circ $ означает, что PH перпендикулярно AB. Но BH — высота, т.е. BH перпендикулярно AC. Из этого следует, что H совпадает с B, если P и K должны лежать на AB и CB. Это противоречит условию, что BH — высота, проведенная из вершины B. Высота из прямого угла падает на гипотенузу.

Переосмыслим условие: Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Это значит, что H лежит на гипотенузе AC, и BH ⊥ AC.

Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно.

Рассмотрим угол $ \angle BPK $. Так как P лежит на окружности, диаметром которой является BH, то угол $ \angle BPH $ равен 90° (угол, опирающийся на диаметр). Если H лежит на AC, то PH — это отрезок, перпендикулярный AB. Но BH — высота, значит BH ⊥ AC. Если PH ⊥ AB, то угол между BH и AB (если H на AC) не обязательно 90.

Ключевое свойство: Углы $ \angle BPK $ и $ \angle BKH $ вписаны в окружность с диаметром BH. Следовательно, $ \angle BPK = 90^\circ $ и $ \angle BKH = 90^\circ $. Это означает, что PK перпендикулярно AB, и PK перпендикулярно CB.

Рассмотрим подобный треугольник:

В прямоугольном треугольнике ABC, высота BH делит его на два подобных треугольника: $ \triangle ABC \sim \triangle HBA \sim \triangle HBC $.

Рассмотрим треугольник ABC. В нем $ \angle B = 90^\circ $. Высота BH. Окружность с диаметром BH. Точки P на AB, K на CB. Углы $ \angle BPK = 90^\circ $ и $ \angle BKP = 90^\circ $.

Треугольник PBK является прямоугольным с прямым углом $ \angle B = 90^\circ $.

Рассмотрим треугольник ABC и треугольник PBK:

Угол B общий для обоих треугольников.

Если $ \angle BPK = 90^\circ $, то PK перпендикулярно AB. Но $ \angle ABC = 90^\circ $, так что AB ⊥ BC. Если PK ⊥ AB, то PK || BC.

Если $ \angle BKP = 90^\circ $, то PK перпендикулярно CB. Так как AB ⊥ CB, то PK || AB.

Следовательно, треугольник PBK подобен треугольнику ABC. Коэффициент подобия определяется отношением соответствующих сторон.

Используем теорему о высоте в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике ABC, высота BH к гипотенузе AC делит гипотенузу на отрезки AH и HC. Также, $$BH^2 = AH \times HC$$.

Снова вернемся к окружности:

Окружность с диаметром BH. Точка P на AB, точка K на CB. Угол $ \angle BPH = 90^\circ $ и $ \angle BKH = 90^\circ $.

Это означает, что точки P и K лежат на окружности с диаметром BH.

Ключевое свойство: Треугольник PBK является прямоугольным с прямым углом $ \angle B = 90^\circ $. Если P лежит на AB и K лежит на CB, то PK является гипотенузой в прямоугольном треугольнике PBK.

Рассмотрим треугольник ABC и прямую PK.

Угол $ \angle BPK = 90^\circ $ означает, что PK ⊥ AB. Но AB ⊥ BC. Это значит, что PK || BC.

Угол $ \angle BKP = 90^\circ $ означает, что PK ⊥ CB. Но AB ⊥ CB. Это значит, что PK || AB.

Итак, PK || AC.

Это означает, что треугольник PBK подобен треугольнику ABC. Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон.

Рассмотрим треугольник ABH.

В нем $ \angle BHA = 90^\circ $. Окружность с диаметром BH пересекает AB в точке P.

Значит, $ \angle BPH = 90^\circ $.

Треугольник BPH — прямоугольный, и $ \angle BPH = 90^\circ $. То есть, PH ⊥ AB. Но BH — высота, значит BH ⊥ AC.

Рассмотрим подобные треугольники:

В прямоугольном треугольнике ABC, высота BH делит гипотенузу AC на отрезки AH и HC. Мы знаем, что $ BH^2 = AH \times HC $.

Теперь вернемся к окружности и треугольнику PBK.

Так как $ \angle BPK = 90^\circ $ (вписанный угол, опирающийся на диаметр BH), то PK ⊥ AB. Так как $ \angle ABC = 90^\circ $, то AB ⊥ BC. Если PK ⊥ AB, то PK || BC.

Аналогично, $ \angle BKP = 90^\circ $, то PK ⊥ CB. Так как AB ⊥ CB, то PK || AB.

Следовательно, PK || AC.

Это означает, что треугольник PBK подобен треугольнику ABC.

Коэффициент подобия равен отношению BH к высоте, опущенной из B на AC в треугольнике PBK, или отношением соответствующих сторон.

Ключевое свойство: Отрезок PK является средней линией в некотором смысле.

Рассмотрим треугольник ABH.

Угол $ \angle BHA = 90^\circ$. Окружность с диаметром BH пересекает AB в P. Это значит, что $ \angle BPH = 90^\circ $. Треугольник BPH прямоугольный.

Рассмотрим треугольник CBH.

Угол $ \angle BHC = 90^\circ$. Окружность с диаметром BH пересекает CB в K. Это значит, что $ \angle BKH = 90^\circ $. Треугольник BKH прямоугольный.

Рассмотрим подобие треугольников:

В прямоугольном треугольнике ABC, высота BH. У нас есть $ \triangle ABC \sim \triangle HBA \sim \triangle HBC $.

Из подобия $ \triangle ABC \sim \triangle HBA $, имеем: $ \frac{AB}{AC} = \frac{BH}{BC} $ и $ \frac{AB}{BH} = \frac{BC}{AH} $.

Из подобия $ \triangle ABC \sim \triangle HBC $, имеем: $ \frac{BC}{AC} = \frac{BH}{AB} $ и $ \frac{BC}{BH} = \frac{AC}{HC} $.

Вернемся к треугольнику PBK.

Так как $ \angle BPK = 90^\circ $ и $ \angle BKP = 90^\circ $, и $ \angle B = 90^\circ $, то PBKC — это прямоугольник.

Это неверно. $ \angle BPK = 90^\circ $ означает, что PK ⊥ AB. Но $ \angle ABC = 90^\circ $, так что AB ⊥ BC. Если PK ⊥ AB, то PK || BC.

Это означает, что треугольник PBK подобен треугольнику ABC.

Коэффициент подобия равен отношению BH к высоте, опущенной из B на AC в треугольнике PBK, или отношением соответствующих сторон.

Ключевое свойство: Отрезок PK является гипотенузой прямоугольного треугольника PBK.

Рассмотрим треугольник ABH.

Угол $ \angle BHA = 90^\circ $. Окружность с диаметром BH пересекает AB в P. Значит, $ \angle BPH = 90^\circ $. Треугольник BPH прямоугольный.

Рассмотрим треугольник CBH.

Угол $ \angle BHC = 90^\circ $. Окружность с диаметром BH пересекает CB в K. Значит, $ \angle BKH = 90^\circ $. Треугольник BKH прямоугольный.

Ключевая мысль: Отрезок PK является средней линией, соединяющей стороны AB и CB, потому что PK || AC.

Рассмотрим подобные треугольники:

В прямоугольном треугольнике ABC, высота BH. $ \triangle ABC \sim \triangle HBA \sim \triangle HBC $.

Из подобия $ \triangle ABC \sim \triangle HBA $, имеем $ \frac{BH}{AB} = \frac{AH}{AB} $ - это неверно.

Правильное рассуждение:

1. Окружность с диаметром BH. Так как $ \angle BPH = 90^\circ $ (вписанный угол, опирающийся на диаметр BH), то PH ⊥ AB. Поскольку BH — высота, BH ⊥ AC. Угол между AB и BH — это $ \angle ABH $.

2. Аналогично, $ \angle BKH = 90^\circ $, то PK ⊥ CB. Поскольку AB ⊥ CB, то PK || AB.

3. Так как PK || AB, то $ \triangle PBK \sim \triangle ABC $ (по двум углам: $ \angle B $ общий, $ \angle BPK = \angle BAC $ как соответственные при PK || AB и секущей AB - это неверно).

Правильное подобие:

Так как $ \angle BPH = 90^\circ $, то PH ⊥ AB. Так как $ \angle BKH = 90^\circ $, то KH ⊥ CB.

Рассмотрим четырехугольник PBKH.

$ \angle B = 90^\circ $, $ \angle BPH = 90^\circ $, $ \angle BKH = 90^\circ $.

Сумма углов четырехугольника равна 360°.

$ \angle PKH = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 90^\circ $.

Следовательно, PBKH — прямоугольник.

В прямоугольнике диагонали равны. Диагонали PBKH — PK и BH.

Значит, $ PK = BH $.

Нам дано, что $ BH = 14 $.

Следовательно, $ PK = 14 $.

Ответ: 14