23. Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите ∠KCB, если ∠ABC = 20°.

Обозначим \(BK=k\), \(BA=a\), \(BE=e\), \(BC=c\), а \(\angle ABC=\theta=20^\circ\). По теореме о секущих, проведённых из точки B, \(BK\cdot BA=BE\cdot BC\), то есть \(ka=ec\).

Из условия \(AE\perp CK\) скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AE}\) и \(\overrightarrow{CK}\) равно нулю. Поэтому \(ec+ak-(ek+ac)\cos\theta=0\). С учётом \(ec=ak\) получаем \(\cos\theta=\dfrac{2ak}{ek+ac}\).

Положим \(s=k/c\). Из равенства \(ec=ak\) следует \(e=ak/c\), поэтому \(\cos\theta=\dfrac{2s}{1+s^2}\). Так как K и E лежат на сторонах треугольника, \(k<a\) и \(e<c\); вместе с \(ec=ak\) это даёт \(s<1\). Следовательно, из \(\cos20^\circ=\dfrac{2s}{1+s^2}\) получаем \(s=\tan35^\circ\).

Для угла \(\varphi=\angle KCB\) разложение вектора \(\overrightarrow{CK}\) на составляющие относительно направления CB даёт \(\tan\varphi=\dfrac{s\sin20^\circ}{1-s\cos20^\circ}=s\). Значит, \(\varphi=35^\circ\).

Ответ: \(35^\circ\).