23.20. Найдите наименьшее целое решение неравенства: 1) \(\frac{4x+13}{10} - \frac{5+2x}{4} > \frac{6-7x}{20} - 2;\) 2) \((x-1)(x+1)-(x-4)(x+2) \ge 0.\)

Решение:

1) Решим неравенство:

\(\frac{4x+13}{10} - \frac{5+2x}{4} > \frac{6-7x}{20} - 2\)

Приведём к общему знаменателю 20:

\(\frac{2(4x+13)}{20} - \frac{5(5+2x)}{20} > \frac{6-7x}{20} - \frac{40}{20}\)

Умножим обе части на 20:

\(2(4x+13) - 5(5+2x) > 6-7x - 40\)

\(8x + 26 - 25 - 10x > 6 - 7x - 40\)

\(-2x + 1 > -34 - 7x\)

\(-2x + 7x > -34 - 1\)

\(5x > -35\)

\(x > -7\)

2) Решим неравенство:

\((x-1)(x+1)-(x-4)(x+2) \ge 0\)

Раскроем скобки:

\((x^2 - 1) - (x^2 + 2x - 4x - 8) \ge 0\)

\(x^2 - 1 - (x^2 - 2x - 8) \ge 0\)

\(x^2 - 1 - x^2 + 2x + 8 \ge 0\)

\(2x + 7 \ge 0\)

\(2x \ge -7\)

\(x \ge -3.5\)

Наименьшее целое решение первого неравенства — это -6. Наименьшее целое решение второго неравенства — -3.

По условию нужно найти наименьшее целое решение неравенства. Рассмотрим оба неравенства. Первое неравенство даёт \(x > -7\), второе — \(x \ge -3.5\). Объединяя условия, получаем \(x \ge -3.5\).

Наименьшее целое число, удовлетворяющее условию \(x \ge -3.5\), — это -3.

Ответ: -3