22. Построй график функции y = -x² + 7|x| - 2 и определи, какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс.

Решение:

Функция \( y = -x^2 + 7|x| - 2 \) является чётной, так как \( |x| \) — чётная функция, а \( -x^2 \) — также чётная функция. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси Y).

Рассмотрим функцию для \( x \ge 0 \): \( y = -x^2 + 7x - 2 \). Это парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем вершину параболы для \( x \ge 0 \): \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-7}{2(-1)} = \frac{7}{2} = 3.5 \).

Значение \( y \) в вершине: \( y_в = -(3.5)^2 + 7(3.5) - 2 = -12.25 + 24.5 - 2 = 10.25 \).

Найдем точки пересечения с осью X (приравниваем \( y = 0 \)): \( -x^2 + 7x - 2 = 0 \) или \( x^2 - 7x + 2 = 0 \).

Дискриминант \( D = (-7)^2 - 4(1)(2) = 49 - 8 = 41 \).

Корни: \( x = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{2} \). Оба корня положительны. \( x_1 = \frac{7 - \sqrt{41}}{2} \approx \frac{7 - 6.4}{2} = 0.3 \), \( x_2 = \frac{7 + \sqrt{41}}{2} \approx \frac{7 + 6.4}{2} = 6.7 \).

С учетом симметрии, для \( x < 0 \), график будет зеркальным отражением графика для \( x > 0 \).

График функции имеет вид:

Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет уравнение \( y = k \), где \( k \) — константа.

Чтобы определить наибольшее число общих точек графика функции и прямой \( y = k \), нужно найти значение \( k \), при котором прямая пересекает график наибольшее число раз.

График функции имеет две вершины (из-за модуля \( |x| \), фактически одна парабола для \( x \ge 0 \) и её симметричное отражение для \( x < 0 \)). Максимальная ордината графика достигается в вершинах, где \( y = 10.25 \).

Если \( y = k \) проходит через вершину \( (3.5, 10.25) \) и \( (-3.5, 10.25) \), то будет две общие точки.

Если \( y = k \) проходит ниже вершины, но выше точек пересечения с осью X (т.е. \( 0 < k < 10.25 \)), то прямая будет пересекать график в четырёх точках.

Если \( y = k \) проходит через точки пересечения с осью X (т.е. \( k = 0 \)), то будет две общие точки.

Если \( y = k \) проходит ниже оси X (т.е. \( k < 0 \)), то будет две общие точки.

Максимальное число точек пересечения достигается, когда \( 0 < k < 10.25 \). В этом случае прямая пересечет график 4 раза.

Ответ: 4