22. Построй график функции \(y=-x^2+7|x|-2\) и определи, какое наибольшее число общих точек графика функции с прямой, параллельной оси абсцисс.

Используем определение модуля:

\[y=\begin{cases}-x^2-7x-2,&x<0,\\-x^2+7x-2,&x\geq 0.\end{cases}\]

Это две ветви парабол, симметричные относительно оси \(Oy\). Вершины соответствующих ветвей находятся при \(x=-3.5\) и \(x=3.5\); значение функции в обеих вершинах равно \(10.25\). При \(x=0\) получаем \(y=-2\).

Для построения графика вычислим несколько значений:

График функции:

Рассмотрим горизонтальные прямые \(y=c\). При \(-2<c<10.25\) прямая пересекает каждую из двух ветвей графика в двух точках: один раз на участке от \(x=0\) к вершине и один раз за вершиной. Итого получается четыре точки пересечения. Выше максимума пересечений нет; при \(c=10.25\) — две точки. Следовательно, наибольшее число общих точек равно 4.

Ответ: 4 общие точки.