Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Обозначим:
- \( V_{л} \) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).
- \( V_{т} \) — скорость течения реки, \( V_{т} = 5 \) км/ч.
- \( S \) — расстояние между пристанями А и В, \( S = 60 \) км.
Скорость плота равна скорости течения реки: \( V_{плот} = V_{т} = 5 \) км/ч.
Плот плыл \( t_{плот} \) часов. За это время он проплыл 30 км. Найдем время в пути:
\[ t_{плот} = \frac{30 \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} = 6 \text{ ч} \]Моторная лодка отправилась через час после плота. Значит, время движения лодки:
\[ t_{лодка} = t_{плот} - 1 \text{ ч} = 6 \text{ ч} - 1 \text{ ч} = 5 \text{ ч} \]Скорость лодки по течению:
\[ V_{по течению} = V_{л} + V_{т} = V_{л} + 5 \]Скорость лодки против течения:
\[ V_{против течения} = V_{л} - V_{т} = V_{л} - 5 \]Путь лодки по течению (из А в В): \( S_{АВ} = 60 \) км.
Путь лодки против течения (из В в А): \( S_{ВА} = 60 \) км.
Время движения лодки из А в В:
\[ t_{АВ} = \frac{S_{АВ}}{V_{по течению}} = \frac{60}{V_{л} + 5} \]Время движения лодки из В в А:
\[ t_{ВА} = \frac{S_{ВА}}{V_{против течения}} = \frac{60}{V_{л} - 5} \]Общее время движения лодки равно \( t_{лодка} \):
\[ t_{АВ} + t_{ВА} = t_{лодка} \]Подставляем значения:
\[ \frac{60}{V_{л} + 5} + \frac{60}{V_{л} - 5} = 5 \]Умножим обе части уравнения на \( (V_{л} + 5)(V_{л} - 5) \) для избавления от знаменателей:
\[ 60(V_{л} - 5) + 60(V_{л} + 5) = 5(V_{л} + 5)(V_{л} - 5) \]Раскроем скобки:
\[ 60V_{л} - 300 + 60V_{л} + 300 = 5(V_{л}^2 - 25) \]Упростим:
\[ 120V_{л} = 5V_{л}^2 - 125 \]Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\[ 5V_{л}^2 - 120V_{л} - 125 = 0 \]Разделим уравнение на 5:
\[ V_{л}^2 - 24V_{л} - 25 = 0 \]Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676 \]Найдем \( \sqrt{D} \):
\[ \sqrt{676} = 26 \]Найдём корни:
\[ V_{л1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + 26}{2 \cdot 1} = \frac{50}{2} = 25 \]\( V_{л2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - 26}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \)
Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( V_{л} = 25 \) км/ч.
Ответ: 25 км/ч.
