21. Расстояние между пристанями А и В равно 24 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через полчаса вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, поворачивает обратно и возвращается в пункт А, к этому времени плот проплывает 8 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение:

Обозначим:

• \( v_л \) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).
• \( v_т \) — скорость течения реки (км/ч), \( v_т = 2 \) км/ч.
• \( S_{AB} \) — расстояние между пристанями А и В, \( S_{AB} = 24 \) км.

1. Движение плота:

Плот двигался всё время. За время, пока лодка плыла от А до В и обратно, плот проплыл 8 км.

Скорость плота равна скорости течения: \( v_{плот} = v_т = 2 \) км/ч.

Время в пути плота \( t_{плот} \) = \( \frac{8 \text{ км}}{2 \text{ км/ч}} = 4 \) часа.

2. Движение лодки:

Лодка отправилась через 0.5 часа после плота.

Общее время движения лодки \( t_{лодка} \) = \( t_{плот} - 0.5 \text{ ч} = 4 \text{ ч} - 0.5 \text{ ч} = 3.5 \) часа.

Время движения лодки от А до В (по течению): \( t_{AB} \).

Скорость лодки по течению: \( v_{AB} = v_л + v_т = v_л + 2 \) км/ч.

Время движения лодки от В до А (против течения): \( t_{BA} \).

Скорость лодки против течения: \( v_{BA} = v_л - v_т = v_л - 2 \) км/ч.

Общее время лодки: \( t_{лодка} = t_{AB} + t_{BA} = 3.5 \) часа.

Путь от А до В: \( S_{AB} = (v_л + 2) t_{AB} = 24 \) км.

Путь от В до А: \( S_{BA} = (v_л - 2) t_{BA} = 24 \) км.

Из этих уравнений выразим время:

\( t_{AB} = \frac{24}{v_л + 2} \)

\( t_{BA} = \frac{24}{v_л - 2} \)

Подставим в уравнение общего времени лодки:

\[ \frac{24}{v_л + 2} + \frac{24}{v_л - 2} = 3.5 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{24(v_л - 2) + 24(v_л + 2)}{(v_л + 2)(v_л - 2)} = 3.5 \]

\[ \frac{24v_л - 48 + 24v_л + 48}{v_л^2 - 4} = 3.5 \]

\[ \frac{48v_л}{v_л^2 - 4} = 3.5 \]

\[ 48v_л = 3.5(v_л^2 - 4) \]

\[ 48v_л = 3.5v_л^2 - 14 \]

Приведём к стандартному квадратному уравнению:

\[ 3.5v_л^2 - 48v_л - 14 = 0 \]

Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

\[ 7v_л^2 - 96v_л - 28 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = (-96)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-28) = 9216 + 784 = 10000 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{10000} = 100 \)

Найдём корни:

\[ v_{л1} = \frac{96 + 100}{2 \cdot 7} = \frac{196}{14} = 14 \]

\[ v_{л2} = \frac{96 - 100}{2 \cdot 7} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7} \]

Скорость не может быть отрицательной, поэтому берём положительный корень.

Скорость лодки в неподвижной воде \( v_л = 14 \) км/ч.

Проверка:

Скорость по течению: \( 14 + 2 = 16 \) км/ч.

Скорость против течения: \( 14 - 2 = 12 \) км/ч.

Время по течению: \( t_{AB} = \frac{24}{16} = 1.5 \) часа.

Время против течения: \( t_{BA} = \frac{24}{12} = 2 \) часа.

Общее время лодки: \( 1.5 + 2 = 3.5 \) часа. Это совпадает с расчётом.

Время плота: \( 3.5 + 0.5 = 4 \) часа.

Расстояние, пройденное плотом: \( 2 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 8 \) км. Это совпадает с условием.

Ответ: 14 км/ч.