21. Моторная лодка прошла против течения реки 154 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Решение:

Обозначим:

• \(v_л\) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч);
• \(v_т\) — скорость течения реки, \(v_т = 4\) км/ч;
• \(t_1\) — время движения против течения (ч);
• \(t_2\) — время движения по течению (ч);
• \(S\) — расстояние, \(S = 154\) км.

Скорость лодки против течения: \(v_{против} = v_л - v_т = v_л - 4\) км/ч.

Скорость лодки по течению: \(v_{по\;течению} = v_л + v_т = v_л + 4\) км/ч.

Время движения против течения: \(t_1 = \frac{S}{v_{против}} = \frac{154}{v_л - 4}\) ч.

Время движения по течению: \(t_2 = \frac{S}{v_{по\;течению}} = \frac{154}{v_л + 4}\) ч.

По условию, на обратный путь (по течению) было затрачено на 4 часа меньше:

\(t_1 - t_2 = 4\)

\(\frac{154}{v_л - 4} - \frac{154}{v_л + 4} = 4\)

Разделим обе части уравнения на 4:

\(\frac{154}{4(v_л - 4)} - \frac{154}{4(v_л + 4)} = 1\)

\(\frac{77}{2(v_л - 4)} - \frac{77}{2(v_л + 4)} = 1\)

Приведём к общему знаменателю:

\(\frac{77(v_л + 4) - 77(v_л - 4)}{2(v_л - 4)(v_л + 4)} = 1\)

\(\frac{77v_л + 308 - 77v_л + 308}{2(v_л^2 - 16)} = 1\)

\(\frac{616}{2(v_л^2 - 16)} = 1\)

\(\frac{308}{v_л^2 - 16} = 1\)

\(308 = v_л^2 - 16\)

\(v_л^2 = 308 + 16\)

\(v_л^2 = 324\)

\(v_л = \sqrt{324}\)

\(v_л = 18\) км/ч.

Скорость лодки в неподвижной воде должна быть больше скорости течения, \(18 > 4\), что удовлетворяет условию.

Ответ: 18 км/ч.