21. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 36°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Следовательно, \( \angle OAB = 90^{\circ} \) и \( \angle OBA = 90^{\circ} \).

2. В четырёхугольнике \( OACB \) (где \( C \) — точка пересечения касательных) сумма углов равна \( 360^{\circ} \). Угол между касательными \( \angle ACB = 36^{\circ} \).

3. Таким образом, \( \angle AOB + \angle OAB + \angle ACB + \angle OBA = 360^{\circ} \).

\( \angle AOB + 90^{\circ} + 36^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 216^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB = 360^{\circ} - 216^{\circ} = 144^{\circ} \).

4. В равнобедренном треугольнике \( \triangle OAB \) (так как \( OA = OB \) — радиусы), углы при основании равны. Сумма углов в \( \triangle OAB \) равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ} \).

\( \angle OAB + \angle OBA + 144^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ} - 144^{\circ} = 36^{\circ} \).

5. Поскольку \( OA = OB \) (радиусы), то \( \triangle OAB \) — равнобедренный, и \( \angle OAB = \angle OBA \).

\( 2 \cdot \angle OBA = 36^{\circ} \)

\( \angle OBA = \frac{36^{\circ}}{2} = 18^{\circ} \).

Примечание: В условии задачи указано, что угол между касательными равен 36°. В решении используется именно этот угол. Рисунок в задании может не соответствовать точному условию.

Ответ: 18°.