21. Два автомобиля одновременно отправляются в 560-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Question

Вопрос:

Фото задания: 21. Два автомобиля одновременно отправляются в 560-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем…

21. Два автомобиля одновременно отправляются в 560-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Accepted Answer

Привет! Давай разберемся с этой задачей про автомобили. Она на движение, так что будем использовать формулу \( s = vt \), где \( s \) — расстояние, \( v \) — скорость, \( t \) — время.

Обозначим переменные:
Пусть \( v_1 \) — скорость первого автомобиля, а \( v_2 \) — скорость второго автомобиля.
Пусть \( t_1 \) — время в пути первого автомобиля, а \( t_2 \) — время в пути второго автомобиля.
Расстояние \( s = 560 \) км.
Составим уравнения по условиям задачи:
Условие 1: Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй.
\[ v_1 = v_2 + 10 \]
Отсюда мы можем выразить \( v_2 \) через \( v_1 \):
\[ v_2 = v_1 - 10 \]
Условие 2: Первый прибывает к финишу на 1 ч раньше второго.
\[ t_1 = t_2 - 1 \]
Отсюда мы можем выразить \( t_2 \) через \( t_1 \):
\[ t_2 = t_1 + 1 \]
Условие 3: Расстояние одинаковое для обоих автомобилей.
\[ s = v_1 t_1 = 560 \]
\[ s = v_2 t_2 = 560 \]
Подставляем и решаем:
Из \( v_1 t_1 = 560 \) выразим \( t_1 \):
\[ t_1 = \frac{560}{v_1} \]
Из \( v_2 t_2 = 560 \) выразим \( t_2 \):
\[ t_2 = \frac{560}{v_2} \]
Теперь подставим эти выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \) в уравнение \( t_2 = t_1 + 1 \):
\[ \frac{560}{v_2} = \frac{560}{v_1} + 1 \]
Мы знаем, что \( v_2 = v_1 - 10 \), подставим это:
\[ \frac{560}{v_1 - 10} = \frac{560}{v_1} + 1 \]
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим всё уравнение на \( v_1(v_1 - 10) \):
\[ 560 v_1 = 560(v_1 - 10) + v_1(v_1 - 10) \]
\[ 560 v_1 = 560 v_1 - 5600 + v_1^2 - 10 v_1 \]
Сокращаем \( 560 v_1 \) с обеих сторон:
\[ 0 = -5600 + v_1^2 - 10 v_1 \]
Перепишем в виде квадратного уравнения:
\[ v_1^2 - 10 v_1 - 5600 = 0 \]
Решаем это квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. Давай через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \).
Здесь \( a=1 \), \( b=-10 \), \( c=-5600 \).
\[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5600) = 100 + 22400 = 22500 \]
\( \sqrt{D} = \sqrt{22500} = 150 \)
Теперь находим \( v_1 \):
\[ v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
\[ v_{1,1} = \frac{10 + 150}{2 \cdot 1} = \frac{160}{2} = 80 \]
\[ v_{1,2} = \frac{10 - 150}{2 \cdot 1} = \frac{-140}{2} = -70 \]
Выбираем правильный ответ:
Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v_1 = -70 \) — посторонний корень.
Значит, скорость первого автомобиля \( v_1 = 80 \) км/ч.
Проверка:
Если \( v_1 = 80 \) км/ч, то \( v_2 = 80 - 10 = 70 \) км/ч.
Время первого: \( t_1 = \frac{560}{80} = 7 \) часов.
Время второго: \( t_2 = \frac{560}{70} = 8 \) часов.
\( t_2 - t_1 = 8 - 7 = 1 \) час. Всё сходится!

Ответ: 80 км/ч