21 Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла еще 30 км. затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — собственная скорость баржи (км/ч), а \( u \) — скорость течения реки (км/ч).

По условию, \( u = 5 \) км/ч.

Скорость баржи по течению: \( v + u = v + 5 \) (км/ч).

Скорость баржи против течения: \( v - u = v - 5 \) (км/ч).

Время движения по течению: \( t_1 = \frac{40}{v+5} \) (ч).

Время движения против течения: \( t_2 = \frac{30}{v-5} \) (ч).

Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 5 \) часов.

Составим уравнение:

\[ \frac{40}{v+5} + \frac{30}{v-5} = 5 \]

Умножим обе части уравнения на \( (v+5)(v-5) \) для избавления от знаменателей (при \( v \neq 5 \)):

\( 40(v-5) + 30(v+5) = 5(v+5)(v-5) \)

\( 40v - 200 + 30v + 150 = 5(v^2 - 25) \)

\( 70v - 50 = 5v^2 - 125 \)

Перенесём всё в правую часть:

\( 5v^2 - 70v - 125 + 50 = 0 \)

\( 5v^2 - 70v - 75 = 0 \)

Разделим всё на 5:

\( v^2 - 14v - 15 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\( D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{256} = 16 \)

Найдём корни:

\( v_1 = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15 \)

\( v_2 = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, посторонний корень \( v_2 = -1 \) отбрасываем.

Ответ: 15 км/ч.