21. Баржа проплыла по течению реки 60 км и, повернув обратно, проплыла еще 20 км, затратив на весь путь 7 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1. Обозначим собственную скорость баржи как \( v \) км/ч.
2. Скорость баржи по течению: \( v + 1 \) км/ч.
3. Скорость баржи против течения: \( v - 1 \) км/ч.
4. Время, затраченное на путь по течению: \( t_1 = \frac{60}{v+1} \) часа.
5. Время, затраченное на путь против течения: \( t_2 = \frac{20}{v-1} \) часа.
6. Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 7 \) часов.
7. Составим и решим уравнение: \( \frac{60}{v+1} + \frac{20}{v-1} = 7 \)
8. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{60(v-1) + 20(v+1)}{(v+1)(v-1)} = 7 \)
9. \( \frac{60v - 60 + 20v + 20}{v^2 - 1} = 7 \)
10. \( \frac{80v - 40}{v^2 - 1} = 7 \)
11. \( 80v - 40 = 7(v^2 - 1) \)
12. \( 80v - 40 = 7v^2 - 7 \)
13. \( 7v^2 - 80v + 33 = 0 \)
14. Найдем дискриминант: \( D = (-80)^2 - 4 · 7 · 33 = 6400 - 924 = 5476 \)
15. \( \sqrt{D} = \sqrt{5476} = 74 \)
16. Найдем корни:
• \( v_1 = \frac{80 + 74}{2 · 7} = \frac{154}{14} = 11 \)
• \( v_2 = \frac{80 - 74}{2 · 7} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \)
17. Так как скорость баржи должна быть больше скорости течения, \( v > 1 \). Поэтому \( v = 11 \) км/ч.

Ответ: 11 км/ч.