209. Функция задана формулой y = x² + px + q. Найдите значения p и q, если известно, что: а) нули функции — числа 3 и 4; б) график функции пересекает оси координат в точках (0; 6) и (2; 0); в) наименьшее значение, равное 24, функция принимает при x = 6.

1. Нули функции равны 3 и 4, значит, её можно записать как произведение соответствующих множителей:

   \(y=(x-3)(x-4)=x^2-7x+12\).

   Сравнивая с \(y=x^2+px+q\), получаем: \(p=-7\), \(q=12\).

2. Точка \((0;6)\) лежит на графике, поэтому при \(x=0\) значение функции равно \(q=6\).

   Точка \((2;0)\) лежит на графике, поэтому \(2^2+2p+6=0\). Отсюда \(2p=-10\), следовательно, \(p=-5\).

3. Абсцисса вершины параболы равна \(-\frac{p}{2}\). По условию она равна 6, значит, \(-\frac{p}{2}=6\), откуда \(p=-12\).

   Подставим координаты вершины \((6;24)\) в функцию: \(6^2-12\cdot6+q=24\). Тогда \(36-72+q=24\), поэтому \(q=60\).

Ответ: а) \(p=-7,\ q=12\); б) \(p=-5,\ q=6\); в) \(p=-12,\ q=60\).