2011)*Как двум мальчикам, используя один велосипед, одновременно и в кратчайшее время добраться до станции, расстояние до которой 2400 м, если скорость каждого пешком 60 м/мин, а на велосипеде — 120 м/мин?

Решение:

Для того чтобы два мальчика добрались до станции за кратчайшее время, им нужно использовать велосипед таким образом, чтобы один мальчик ехал на велосипеде, а другой шёл пешком. Когда первый мальчик доезжал до определённой точки, он оставлял велосипед и шёл пешком дальше, а второй мальчик, идущий позади, мог взять велосипед и доехать до него, чтобы продолжить путь вместе.

Оптимальная стратегия: мальчик А едет на велосипеде, мальчик Б идёт пешком. Мальчик А проезжает некоторое расстояние, оставляя велосипед, и идёт пешком. Мальчик Б, идя пешком, доходит до оставленного велосипеда, садится на него и догоняет мальчика А. Затем они меняются местами, и мальчик А продолжает идти пешком, а мальчик Б едет на велосипеде до следующей точки, где они опять меняются.

Чтобы время было минимальным, они должны прибыть одновременно.

Пусть весь путь занимает время $$T$$. Общее расстояние $$S = 2400$$ м.

Скорость пешком $$v_{пеш} = 60$$ м/мин.

Скорость на велосипеде $$v_{вел} = 120$$ м/мин.

Оба мальчика должны пройти/проехать расстояние $$S$$.

Пусть время, которое мальчик А ехал на велосипеде, равно $$t_{А,вел}$$.

Пусть время, которое мальчик А шёл пешком, равно $$t_{А,пеш}$$.

Пусть время, которое мальчик Б шёл пешком, равно $$t_{Б,пеш}$$.

Пусть время, которое мальчик Б ехал на велосипеде, равно $$t_{Б,вел}$$.

Общее время для мальчика А: $$t_{А,вел} + t_{А,пеш} = T$$.

Общее время для мальчика Б: $$t_{Б,пеш} + t_{Б,вел} = T$$.

Расстояние, которое проехал мальчик А: $$S_{А,вел} = v_{вел} \times t_{А,вел}$$.

Расстояние, которое прошёл мальчик А: $$S_{А,пеш} = v_{пеш} \times t_{А,пеш}$$.

Сумма расстояний для мальчика А: $$S_{А,вел} + S_{А,пеш} = 2400$$ м.

Расстояние, которое прошёл мальчик Б: $$S_{Б,пеш} = v_{пеш} \times t_{Б,пеш}$$.

Расстояние, которое проехал мальчик Б: $$S_{Б,вел} = v_{вел} \times t_{Б,вел}$$.

Сумма расстояний для мальчика Б: $$S_{Б,пеш} + S_{Б,вел} = 2400$$ м.

Ключевой момент: велосипед используется одним мальчиком, пока другой идёт пешком, и они меняются.

Рассмотрим более простую симметричную стратегию:

Мальчик А едет на велосипеде $$x$$ метров, затем оставляет его и идёт пешком. Мальчик Б идёт пешком, доходит до велосипеда, садится на него и едет до станции.

Пусть $$t_1$$ — время, которое мальчик А ехал на велосипеде. Расстояние $$d_1 = v_{вел} \times t_1$$.

Мальчик Б за это время прошёл $$d_{Б,пеш} = v_{пеш} \times t_1$$.

Теперь мальчик А идёт пешком $$d_{А,пеш} = v_{пеш} \times t_2$$.

Мальчик Б, оказавшись у велосипеда, проезжает $$d_{Б,вел} = v_{вел} \times t_2$$.

Итоговое расстояние должно быть $$2400$$ м.

Время мальчика А: $$t_1 + t_2 = T$$.

Время мальчика Б: $$t_1 + t_2 = T$$.

Расстояние, которое проехал А: $$d_1 = v_{вел} \times t_1$$.

Расстояние, которое прошёл А: $$d_{А,пеш} = v_{пеш} \times t_2$$.

Общее расстояние А: $$v_{вел} \times t_1 + v_{пеш} \times t_2 = 2400$$.

Расстояние, которое прошёл Б: $$d_{Б,пеш} = v_{пеш} \times t_1$$.

Расстояние, которое проехал Б: $$d_{Б,вел} = v_{вел} \times t_2$$.

Общее расстояние Б: $$v_{пеш} \times t_1 + v_{вел} \times t_2 = 2400$$.

Приравнивая эти два уравнения:

$$v_{вел} \times t_1 + v_{пеш} \times t_2 = v_{пеш} \times t_1 + v_{вел} \times t_2$$.

$$v_{вел} \times t_1 - v_{пеш} \times t_1 = v_{вел} \times t_2 - v_{пеш} \times t_2$$.

$$(v_{вел} - v_{пеш}) \times t_1 = (v_{вел} - v_{пеш}) \times t_2$$.

Так как $$v_{вел} \neq v_{пеш}$$, то $$t_1 = t_2$$.

Это означает, что время, которое каждый мальчик ехал на велосипеде, равно времени, которое он шёл пешком.

Пусть $$t_1 = t_2 = t$$. Тогда общее время $$T = t_1 + t_2 = 2t$$.

Подставим $$t_1 = t$$ и $$t_2 = t$$ в одно из уравнений расстояния:

$$v_{вел} \times t + v_{пеш} \times t = 2400$$.

$$t \times (v_{вел} + v_{пеш}) = 2400$$.

$$t \times (120 + 60) = 2400$$.

$$t \times 180 = 2400$$.

$$t = \frac{2400}{180} = \frac{240}{18} = \frac{40}{3}$$ минут.

Общее время $$T = 2t = 2 \times \frac{40}{3} = \frac{80}{3}$$ минут.

$$\frac{80}{3}$$ минут $$= 26$$ минут и $$\frac{2}{3}$$ минуты, что равно $$26$$ минут и $$40$$ секунд.

Проверка:

Каждый мальчик проезжает на велосипеде $$d_{вел} = v_{вел} \times t = 120 \times \frac{40}{3} = 40 \times 40 = 1600$$ м.

Каждый мальчик идёт пешком $$d_{пеш} = v_{пеш} \times t = 60 \times \frac{40}{3} = 20 \times 40 = 800$$ м.

Общее расстояние для каждого мальчика: $$1600$$ м (на велосипеде) $$+ 800$$ м (пешком) $$= 2400$$ м. Стратегия верна.

Ответ: 80/3 минут (или 26 минут 40 секунд).