20. Решите уравнение x(x² + 6x + 9) = -2(x + 3).

Решение:

Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду.

1. Исходное уравнение: \( x(x^2 + 6x + 9) = -2(x + 3) \)
2. Заметим, что \( x^2 + 6x + 9 \) — это полный квадрат \( (x + 3)^2 \). Поэтому уравнение можно переписать как: \( x(x + 3)^2 = -2(x + 3) \)
3. Перенесём все члены в левую часть: \( x(x + 3)^2 + 2(x + 3) = 0 \)
4. Вынесем общий множитель \( (x + 3) \) за скобки: \( (x + 3)(x(x + 3) + 2) = 0 \)
5. Раскроем скобки во втором множителе: \( (x + 3)(x^2 + 3x + 2) = 0 \)
6. Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 3x + 2 = 0 \). Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \).
7. Корни квадратного уравнения: \( x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = -1 \) и \( x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = -2 \).
8. Таким образом, у нас есть два множителя, равных нулю: \( x + 3 = 0 \) или \( x^2 + 3x + 2 = 0 \).
9. Из \( x + 3 = 0 \) получаем \( x = -3 \).
10. Из \( x^2 + 3x + 2 = 0 \) получаем \( x = -1 \) и \( x = -2 \).

Ответ: x = -3, x = -1, x = -2.