20. Решите уравнение x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0.

Решение:

Дано кубическое уравнение: \( x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0 \).

1. Разложим многочлен на множители методом группировки:
• Сгруппируем первые два члена и последние два члена: \( (x^3 + 5x^2) + (-x - 5) = 0 \)
• Вынесем общий множитель из каждой группы: \( x^2(x + 5) - 1(x + 5) = 0 \)
• Вынесем общий множитель \( (x + 5) \): \( (x + 5)(x^2 - 1) = 0 \)
• Разложим множитель \( x^2 - 1 \) как разность квадратов: \( (x + 5)(x - 1)(x + 1) = 0 \)
2. Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни уравнения:
• \( x + 5 = 0 \) \( \rightarrow \) \( x_1 = -5 \)
• \( x - 1 = 0 \) \( \rightarrow \) \( x_2 = 1 \)
• \( x + 1 = 0 \) \( \rightarrow \) \( x_3 = -1 \)

Ответ: x₁ = -5, x₂ = -1, x₃ = 1.