20. Решите уравнение x² - 2x + √3 - x = √3 - x + 8.

Решение:

Данное уравнение:

\[ x^2 - 2x + \sqrt{3 - x} = \sqrt{3 - x} + 8 \]

Вычтем \( \sqrt{3 - x} \) из обеих частей уравнения:

\[ x^2 - 2x = 8 \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Найдём его корни через дискриминант:

\( a = 1, b = -2, c = -8 \)

\( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{36} = 6 \)

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) + 6}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) - 6}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию, что под корнем \( 3 - x \) должно быть неотрицательное число, т.е. \( 3 - x \geq 0 \) или \( x \leq 3 \).

• Для \( x = 4 \): \( 3 - 4 = -1 \). Это значение меньше нуля, поэтому \( x = 4 \) не является решением уравнения.
• Для \( x = -2 \): \( 3 - (-2) = 3 + 2 = 5 \). Это значение больше нуля, поэтому \( x = -2 \) является решением уравнения.

Ответ: x = -2.