20. Решите систему уравнений: $$ \begin{cases} 4x^2 + y^2 = 52 \\ 12x^2 + 3y^2 = 52x \end{cases} $$

Решение:

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 4x^2 + y^2 = 52 \\ 12x^2 + 3y^2 = 52x \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим \( y^2 \):

\( y^2 = 52 - 4x^2 \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( 12x^2 + 3(52 - 4x^2) = 52x \)

Раскроем скобки:

\( 12x^2 + 156 - 12x^2 = 52x \)

\( 156 = 52x \)

Найдем \( x \):

\( x = \frac{156}{52} = 3 \)

Теперь найдем \( y \), подставив \( x = 3 \) в выражение для \( y^2 \):

\( y^2 = 52 - 4(3^2) \)

\( y^2 = 52 - 4(9) \)

\( y^2 = 52 - 36 \)

\( y^2 = 16 \)

Отсюда следует, что \( y = \pm 4 \).

Таким образом, система имеет два решения:

1. \( x = 3, y = 4 \)
2. \( x = 3, y = -4 \)

Ответ: (3; 4), (3; -4).