20. Решите неравенство qxr – 15x + 54 / x – 6 ≤ 0.

Решение неравенства:

Для решения неравенства qxr – 15x + 54 / x – 6 ≤ 0

1. Найдем корни числителя: xr – 15x + 54 = 0 D = (-15)r – 4 * 1 * 54 = 225 – 216 = 9 x₁ = (15 + 3) / 2 = 18 / 2 = 9 x₂ = (15 – 3) / 2 = 12 / 2 = 6
2. Найдем корень знаменателя: x – 6 = 0 → x = 6
3. Разместим корни на числовой прямой: Получаем интервалы: (-∞, 6), (6, 9], [9, +∞). (знак ≤ у числителя, поэтому 9 включаем; знак ≤ у знаменателя, поэтому 6 не включаем).
4. Определим знаки на интервалах: - Выберем точку из интервала (9, +∞), например, x=10: (10r – 15*10 + 54) / (10 – 6) = (100 – 150 + 54) / 4 = 4 / 4 = 1 (+ ) - Выберем точку из интервала (6, 9], например, x=7: (7r – 15*7 + 54) / (7 – 6) = (49 – 105 + 54) / 1 = – 2 / 1 = – 2 (- ) - Выберем точку из интервала (-∞, 6), например, x=0: (0r – 15*0 + 54) / (0 – 6) = 54 / (– 6) = – 9 (- )
5. Выберем интервалы, где значение выражения ≤ 0: Это интервалы (-∞, 6) и [6, 9]. Объединив их, получаем (-∞, 9].

Ответ: x∈ (-∞; 9]