20. Решите неравенство: $ \frac{(x-1)^2 - 2}{x-2} \geq 0 $

Question

$Фото задания: 20. Решите неравенство: $ \frac{(x-1)^2 - 2}{x-2} \geq 0 $$ Фото задания

Accepted Answer

Запишем неравенство: $ \frac{(x-1)^2 - 2}{x-2} \geq 0 $

Разложим числитель на множители: $ (x-1)^2 - 2 = (x-1 - \sqrt{2})(x-1 + \sqrt{2}) $.
Получим неравенство: $ \frac{(x-1 - \sqrt{2})(x-1 + \sqrt{2})}{x-2} \geq 0 $.
Отметим корни числителя $ x = 1-\sqrt{2} $ и $ x = 1+\sqrt{2} $, и корень знаменателя $ x = 2 $ на числовой прямой.
Определим знаки интервалов:

При $ x < 1-\sqrt{2} $ (например, x=0): $ \frac{(-1-\sqrt{2})(-1+\sqrt{2})}{0-2} = \frac{(-1)^2 - (\sqrt{2})^2}{-2} = \frac{1-2}{-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} > 0 $.
При $ 1-\sqrt{2} < x < 1+\sqrt{2} $ (например, x=1): $ \frac{(1-1-\sqrt{2})(1-1+\sqrt{2})}{1-2} = \frac{(-\sqrt{2})(\sqrt{2})}{-1} = \frac{-2}{-1} = 2 > 0 $.
При $ 1+\sqrt{2} < x < 2 $ (например, x=1.8): $ \frac{(1.8-1-\sqrt{2})(1.8-1+\sqrt{2})}{1.8-2} = \frac{(0.8-\sqrt{2})(0.8+\sqrt{2})}{-0.2} = \frac{0.64-2}{-0.2} = \frac{-1.36}{-0.2} > 0 $.
При $ x > 2 $ (например, x=3): $ \frac{(3-1-\sqrt{2})(3-1+\sqrt{2})}{3-2} = \frac{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}{1} = \frac{4-2}{1} = 2 > 0 $.

Учитывая, что $ 1-\sqrt{2} \approx -0.41 $, $ 1+\sqrt{2} \approx 2.41 $, и $ x=2 $ — корень знаменателя, который не входит в решение.
На интервалах $ (-\infty; 1-\sqrt{2}] $ и $ [1+\sqrt{2}; \infty) $ выражение положительно.
При $ x=1 $ числитель равен 0, поэтому $ x=1 $ входит в решение.
Заметим, что $ (x-1)^2 \ge 0 $, значит $ (x-1)^2 - 2 $ может быть отрицательным.
На интервале $ [1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}] $ числитель $ (x-1)^2 - 2 \le 0 $. Знаменатель $ x-2 $ отрицателен при $ x < 2 $. Следовательно, на интервале $ [1-\sqrt{2}; 2) $ дробь $ \frac{(x-1)^2 - 2}{x-2} \ge 0 $.
На интервале $ (2; 1+\sqrt{2}] $ числитель $ (x-1)^2 - 2 \le 0 $. Знаменатель $ x-2 > 0 $. Следовательно, на этом интервале дробь $ \frac{(x-1)^2 - 2}{x-2} \le 0 $.
На интервале $ (1+\sqrt{2}; \infty) $ числитель $ (x-1)^2 - 2 > 0 $ и знаменатель $ x-2 > 0 $. Следовательно, дробь $ \frac{(x-1)^2 - 2}{x-2} > 0 $.
Объединяя полученные интервалы: $ x ∈ [1-\sqrt{2}; 2) \cup [1+\sqrt{2}; \infty) $.

Ответ: $ x \in [1-\sqrt{2}; 2) \cup [1+\sqrt{2}; \infty) $.

20. Решите неравенство: \( \frac{(x-1)^2 - 2}{x-2} \geq 0 \)