20.1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции \(y=\operatorname{tg}x\) на заданном промежутке: а) на интервале \(\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right)\); б) на полуинтервале \(\left(\frac{3\pi}{4};\pi\right]\); в) на отрезке \(\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{6}\right]\); г) на полуинтервале \(\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right)\).

Функция \(y=\operatorname{tg}x\) не определена при \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) и возрастает на каждом промежутке своей области определения.

1. а) На \(\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right)\) функция непрерывна и возрастает. При приближении к левому концу её значения стремятся к \(-\infty\), а к правому — к \(+\infty\). Наибольшего и наименьшего значений нет.

2. б) На \(\left(\frac{3\pi}{4};\pi\right]\) функция возрастает. Значение в правом конце равно \(\operatorname{tg}\pi=0\), а у открытого левого конца значения стремятся к \(-1\), не достигая его. Наименьшего значения нет; наибольшее равно \(0\).

3. в) На отрезке \(\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{6}\right]\) функция возрастает, поэтому минимум достигается в левом конце, максимум — в правом: \(\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1\), \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{3}\).

4. г) На \(\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right)\) функция возрастает. В левом конце \(\operatorname{tg}\pi=0\), а при приближении к правому концу значения стремятся к \(+\infty\). Наименьшее значение равно \(0\), наибольшего значения нет.

Ответ: а) наименьшего и наибольшего значений нет; б) наибольшее — \(0\), наименьшего нет; в) наименьшее — \(-1\), наибольшее — \(\frac{\sqrt3}{3}\); г) наименьшее — \(0\), наибольшего нет.