20.05.26г Классная работа ДЗ: Решить неравенства: a) \(\frac{x^2}{x-4} > \frac{1}{x-5}\) б) \(\frac{3x^2-18x+27}{x+7} \le 0\) в) \(\frac{6^4}{x} - x \le 0\)

Решение:

а) \(\frac{x^2}{x-4} > \frac{1}{x-5}\)

1. Перенесём все члены неравенства в одну сторону: \(\frac{x^2}{x-4} - \frac{1}{x-5} > 0\)
2. Приведём к общему знаменателю: \(\frac{x^2(x-5) - (x-4)}{(x-4)(x-5)} > 0\)
3. Упростим числитель: \(\frac{x^3 - 5x^2 - x + 4}{(x-4)(x-5)} > 0\)
4. Решим кубическое уравнение \(x^3 - 5x^2 - x + 4 = 0\). Корни: \(x_1 \approx -0.71\), \(x_2=1\), \(x_3 \approx 5.71\).
5. Методом интервалов определим знаки неравенства.

б) \(\frac{3x^2-18x+27}{x+7} \le 0\)

1. Выделим общий множитель в числителе: \(\frac{3(x^2-6x+9)}{x+7} \le 0\)
2. Свернём квадрат в числителе: \(\frac{3(x-3)^2}{x+7} \le 0\)
3. Знаменатель не должен быть равен нулю: \(x \neq -7\).
4. Так как \((x-3)^2 \ge 0\) и \(3 > 0\), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы \(x+7 < 0\) или \(x=3\).
5. Следовательно, \(x < -7\) или \(x=3\).

в) \(\frac{6^4}{x} - x \le 0\)

1. Приведём к общему знаменателю: \(\frac{6^4 - x^2}{x} \le 0\)
2. Разложим числитель как разность квадратов: \(\frac{(6^2-x)(6^2+x)}{x} \le 0\)
3. \(\frac{(36-x)(36+x)}{x} \le 0\)
4. Решим методом интервалов. Корни числителя: \(x = 36\), \(x = -36\). Корень знаменателя: \(x = 0\).
5. Расставим знаки на числовой оси: \((-\infty, -36] \cup (0, 36]\).

Ответ: а) \((-\infty, x_1] \cup [1, x_2] \cup [x_3, \infty)\) (где \(x_1, x_2, x_3\) — корни числителя) или \((-\infty, -0.71] \cup [1, 5.71] \cup [\text{значение } > 5, \infty)\); б) \((-\infty, -7) \cup \{3\}\); в) \((-\infty, -36] \cup (0, 36]\).