2. Зная значение одной тригонометрической функции, вычислите значение трёх остальных тригонометрических функций: а) sin α = 0,8, 0 < α < π/2; б) cos α = −2/5, π < α < 3π/2; в) tg α = 3/2, π < α < 3π/2.

а) Угол находится в I четверти, поэтому косинус положителен. По тождеству \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\):

\(\cos\alpha=\sqrt{1-0.8^2}=\sqrt{0.36}=0.6=\frac35\).

Тогда \( g\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{4/5}{3/5}=\frac43\), а \(\ctg\alpha=\frac34\).

а) \(\cos\alpha=\frac35,\quad g\alpha=\frac43,\quad \ctg\alpha=\frac34.\)

б) Угол находится в III четверти, поэтому синус отрицателен. Используем основное тождество:

\(\sin\alpha=-\sqrt{1-\left(-\frac25\right)^2}=-\sqrt{\frac{21}{25}}=-\frac{\sqrt{21}}5\).

Следовательно, \( g\alpha=\frac{-\sqrt{21}/5}{-2/5}=\frac{\sqrt{21}}2\), а \(\ctg\alpha=\frac{2}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}\).

б) \(\sin\alpha=-\frac{\sqrt{21}}5,\quad g\alpha=\frac{\sqrt{21}}2,\quad \ctg\alpha=\frac{2\sqrt{21}}{21}.\)

в) В III четверти синус и косинус отрицательны. Пусть их отношение соответствует катетам 3 и 2. Тогда гипотенуза равна \(\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\), поэтому \(\sin\alpha=-\frac3{\sqrt{13}}=-\frac{3\sqrt{13}}{13}\), \(\cos\alpha=-\frac2{\sqrt{13}}=-\frac{2\sqrt{13}}{13}\). Котангенс — обратная величина тангенса: \(\ctg\alpha=\frac23\).

в) \(\sin\alpha=-\frac{3\sqrt{13}}{13},\quad \cos\alpha=-\frac{2\sqrt{13}}{13},\quad \ctg\alpha=\frac23.\)