Ответ:

Подбираем проверочные слова; в словах с чередованием или словарной гласной указываем соответствующее правило. Корни выделены тегами.

Посидеть на лавке — сидя. Проверочное слово: сидя.

Поседеть от старости — седой. Проверочное слово: сед.

Висит на ветке — виснуть. Проверочное слово: виснуть.

Сторожил посёлка — сторож. Здесь сторожил — существительное, обозначающее жителя или охранителя.

Сторожил магазин — сторожить. Здесь сторожил — глагол прошедшего времени.

Посветить фонарём — свет. Проверочное слово: свет.

Посвятить песню другу — свято. Проверочное слово: свято.

Умолять о помощи — молит. Проверочное слово: молить.

Умалять достоинства — малый. Проверочное слово: малый.

Проредить морковь — корень ред, безударная гласная проверяется словом «редкий».

Зарядить ружьё — корень ряд (чередование ряд/ряж); проверочное слово: заряд.