2) Запишите формулу площади треугольника, следствия из нее, формулу Герона. Запишите вывод формулы площади треугольника.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \]

где \( a \) — длина основания, \( h_a \) — высота, опущенная на это основание.

Формула Герона позволяет вычислить площадь треугольника, зная только длины его сторон:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

где \( a, b, c \) — длины сторон треугольника, а \( p \) — полупериметр треугольника, \( p = \frac{a+b+c}{2} \).

Рассмотрим треугольник \( ABC \). Проведем высоту \( BH \) к основанию \( AC \).

Случай 1: Острый угол.

Площадь треугольника \( ABC \) равна сумме площадей прямоугольных треугольников \( ABH \) и \( CBH \) (если \( H \) лежит между \( A \) и \( C \)).

\[ S_{ABC} = S_{ABH} + S_{CBH} = \frac{1}{2} AH \cdot BH + \frac{1}{2} HC \cdot BH = \frac{1}{2} BH \cdot (AH + HC) = \frac{1}{2} BH \cdot AC \]

Так как \( BH = h_a \) и \( AC = a \), то \( S = \frac{1}{2} a h_a \).

Случай 2: Тупой угол (например, угол \( A \) тупой).

Высота \( BH \) падает вне отрезка \( AC \). Площадь \( ABC \) равна разности площадей \( CBH \) и \( ABH \).

\[ S_{ABC} = S_{CBH} - S_{ABH} = \frac{1}{2} CH \cdot BH - \frac{1}{2} AH \cdot BH = \frac{1}{2} BH \cdot (CH - AH) \]

Заметим, что \( CH - AH = (CA + AH) - AH = CA = a \). Тогда \( S = \frac{1}{2} BH \cdot a = \frac{1}{2} a h_a \).

Случай 3: Прямой угол (угол \( B \) — прямой).

Треугольник \( ABC \) — прямоугольный. Основанием можно выбрать катет \( BC \), а высотой — катет \( AB \) (или наоборот).

\[ S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \]

Если выбрать основанием гипотенузу \( AC \), то высота \( BH \) будет соответствовать ей, и формула \( S = \frac{1}{2} AC \cdot BH \) также верна.

Во всех случаях площадь треугольника выражается формулой \( S = \frac{1}{2} a h_a \).