2. Замените значок * одночленом так, чтобы получившийся трехчлен можно было представить в виде квадрата двучлена (последнее задание попробуйте выполните разными способами): a) \(16x^2 + * + y^2;\) б) \(49p^2 - 14p + *;\) в) \(25 - 10a + *;\) г) \(* - 36ab\)

Решение:

Необходимо заменить звездочку (*) одночленом, чтобы получившийся трехчлен стал полным квадратом двучлена. Формула квадрата двучлена: \( (a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2 \).

а) \(16x^2 + * + y^2\)

1. Первый член: \(16x^2 = (4x)^2\), значит, \(a = 4x\).
2. Второй член: \(y^2\), значит, \(b = y\).
3. Средний член должен быть \(2ab = 2 · 4x · y = 8xy\) или \(-2ab = -2 · 4x · y = -8xy\).
4. Таким образом, \(* = 8xy\) или \(* = -8xy\).

Если \(* = 8xy\), то \(16x^2 + 8xy + y^2 = (4x+y)^2\).

Если \(* = -8xy\), то \(16x^2 - 8xy + y^2 = (4x-y)^2\).

б) \(49p^2 - 14p + *\)

1. Первый член: \(49p^2 = (7p)^2\), значит, \(a = 7p\).
2. Средний член: \(-14p\). Используем формулу \(-2ab\), где \(a = 7p\). Тогда \(-14p = -2 · 7p · b\).
3. Отсюда \(b = \frac{-14p}{-14p} = 1\).
4. Третий член: \(b^2 = 1^2 = 1\).
5. Таким образом, \(* = 1\).

\(49p^2 - 14p + 1 = (7p-1)^2\).

в) \(25 - 10a + *\)

1. Первый член: \(25 = 5^2\), значит, \(a = 5\).
2. Средний член: \(-10a\). Используем формулу \(-2ab\), где \(a = 5\). Тогда \(-10a = -2 · 5 · b\).
3. Отсюда \(b = \frac{-10a}{-10} = a\).
4. Третий член: \(b^2 = a^2\).
5. Таким образом, \(* = a^2\).

\(25 - 10a + a^2 = (5-a)^2\).

г) \(* - 36ab\)

Для этого задания не хватает одного члена, чтобы однозначно определить значение звездочки. Предположим, что пропущен первый или последний член квадрата двучлена. Рассмотрим два варианта:

1. Если пропущен первый член \(a^2\):
2. Средний член: \(-36ab\). Используем формулу \(-2ab\).
3. В данном случае \(b = 6a\) или \(b = 6b\) (зависит от того, какие переменные хотим получить). Если считать, что \(a\) и \(b\) — это отдельные переменные, и \(b\) соответствует \(6b\), а \(a\) соответствует \(6a\), то \(-36ab = -2 · (6a) · (3b)\).
4. Тогда \(a^2 = (6a)^2 = 36a^2\) и \(b^2 = (3b)^2 = 9b^2\).
5. Таким образом, в выражении \(36a^2 - 36ab + 9b^2 = (6a-3b)^2\). В этом случае \(* = 36a^2\) (если подразумевался первый член).
6. Если пропущен последний член \(b^2\):
7. Средний член: \(-36ab\). Используем формулу \(-2ab\).
8. Предположим, что \(a = 6a\) и \(b = 6b\). Тогда \(-36ab = -2 · (6a) · (3b)\).
9. Тогда \(a^2 = (6a)^2 = 36a^2\) и \(b^2 = (3b)^2 = 9b^2\).
10. Таким образом, в выражении \(36a^2 - 36ab + 9b^2 = (6a-3b)^2\). В этом случае \(* = 9b^2\) (если подразумевался последний член).

Если предположить, что \(a\) — это \(6a\) и \(b\) — это \(6b\), тогда:

\(a^2 = (6a)^2 = 36a^2\)

\(b^2 = (6b)^2 = 36b^2\)

\(2ab = 2 · 6a · 6b = 72ab\)

В исходном задании г) \(* - 36ab\).

Если \(*\) — это \(a^2\), то \(a^2 - 36ab\). Чтобы это было полным квадратом, нам нужно, чтобы \(a^2 - 2ab + b^2\) или \(a^2 + 2ab + b^2\). Здесь \(2ab = 36ab\), что значит \(b = 18a\). Тогда \(b^2 = (18a)^2 = 324a^2\). Таким образом, \(a^2 - 36ab + 324a^2\) — неверно.

Если \(*\) — это \(b^2\), то \(b^2 - 36ab\). Аналогично, \(2ab = 36ab\), \(a = 18b\). Тогда \(a^2 = (18b)^2 = 324b^2\). Таким образом, \(324b^2 - 36ab + b^2\) — неверно.

Предположим, что \(36ab\) — это средний член \(2ab\).

Тогда \(2ab = 36ab\), что означает \(a · b = 18ab\).

Если \(a = 6a\), то \(b = 3b\). Тогда \(a^2 = (6a)^2 = 36a^2\) и \(b^2 = (3b)^2 = 9b^2\).

Выражение будет \(36a^2 - 36ab + 9b^2 = (6a-3b)^2\). В этом случае \(* = 36a^2\).

Или \(9b^2 - 36ab + 36a^2 = (3b-6a)^2\). В этом случае \(* = 9b^2\).

Чтобы выполнить задание разными способами, нужно рассмотреть случаи, когда \(36ab\) является \(+2ab\) или \(-2ab\), и когда \(a\) и \(b\) в формуле квадрата двучлена соответствуют \(6a\) и \(6b\) или \(6b\) и \(6a\).

Возможные варианты для г):

1. \( (6a-6b)^2 = 36a^2 - 72ab + 36b^2 \). Не подходит, так как нет \(36ab\) посередине.

2. \( (6a+6b)^2 = 36a^2 + 72ab + 36b^2 \). Не подходит.

3. \( (6a-3b)^2 = 36a^2 - 36ab + 9b^2 \). В этом случае \(* = 36a^2\).

4. \( (3b-6a)^2 = 9b^2 - 36ab + 36a^2 \). В этом случае \(* = 9b^2\).

5. \( (6b-3a)^2 = 36b^2 - 36ab + 9a^2 \). В этом случае \(* = 36b^2\).

6. \( (3a-6b)^2 = 9a^2 - 36ab + 36b^2 \). В этом случае \(* = 9a^2\).

Ответ:

а) \(* = 8xy\) или \(* = -8xy\).

б) \(* = 1\).

в) \(* = a^2\).

г) \(* = 36a^2\) (при \( (6a-3b)^2 \)), \(* = 9b^2\) (при \( (3b-6a)^2 \)), \(* = 36b^2\) (при \( (6b-3a)^2 \)), \(* = 9a^2\) (при \( (3a-6b)^2 \)).