2. y=sqrt(36-x^2), [0,3].

Решение:

Это задача на исследование функции на заданном промежутке. Функция y = \(\sqrt{36-x^2}\) представляет собой верхнюю половину окружности с центром в начале координат и радиусом 6.

Нам нужно исследовать эту функцию на промежутке [0, 3].

1. Область определения: Функция определена, когда 36 - x² \(\ge\) 0, что означает x² \(\le\) 36, или -6 \(\le\) x \(\le\) 6. Заданный промежуток [0, 3] полностью входит в область определения.
2. Производная: Найдем производную функции:
   • y' = \(\frac{d}{dx}\sqrt{36-x^2}\)
   • y' = \(\frac{1}{2\sqrt{36-x^2}}\)\(\cdot\)(-2x)\)
   • y' = \(\frac{-x}{\sqrt{36-x^2}}\)\)
3. Критические точки: Производная равна нулю, когда -x = 0, то есть x = 0. Производная не определена, когда \(\sqrt{36-x^2}\) = 0, то есть x = \(\pm 6\).
4. Исследование на промежутке [0, 3]:
   • Критическая точка x = 0 находится на границе промежутка.
   • На промежутке (0, 3), x > 0, а \(\sqrt{36-x^2}\) > 0, поэтому y' = \(\frac{-x}{\sqrt{36-x^2}}\)\) < 0. Это означает, что функция убывает на промежутке [0, 3].
5. Значения функции на концах промежутка:
   • При x = 0: y = \(\sqrt{36-0^2}\) = \(\sqrt{36}\) = 6.
   • При x = 3: y = \(\sqrt{36-3^2}\) = \(\sqrt{36-9}\) = \(\sqrt{27}\) = 3\(\sqrt{3}\).

Выводы:

• Функция убывает на промежутке [0, 3].
• Наибольшее значение функции на промежутке равно 6 (при x=0).
• Наименьшее значение функции на промежутке равно 3\(\sqrt{3}\) (при x=3).

Финальный ответ:

Наибольшее значение: 6, Наименьшее значение: 3\(\sqrt{3}\).