2. ВЫПОЛНЯЯ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ, ПЕТЯ СПЕШИЛ НА ФУТБОЛ И СДЕЛАЛ ОШИБКУ, ВМЕСТО ТОГО ЧТОБЫ ДАННОЕ ОДНОЗНАЧНОЕ ЧИСЛО ВОЗВЕСТИ В КВАДРАТ, ОН ЕГО УДВОИЛ. В РЕЗУЛЬТАТЕ ОН ПОЛУЧИЛ ДВУЗНАЧНОЕ ЧИСЛО, ЗАПИСАННОЕ ТЕМИ ЖЕ ЦИФРАМИ, ЧТО И ИСКОМЫЙ КВАДРАТ, НО В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. КАКОЙ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ ДОЛЖЕН БЫЛ ПОЛУЧИТЬ ПЕТЯ?

Решение:

Пусть искомое однозначное число — \( x \). Тогда его квадрат — \( x^2 \).

Петя удвоил число, получив \( 2x \). Это двузначное число, записанное теми же цифрами, что и \( x^2 \), но в обратном порядке.

Переберём однозначные числа и их квадраты:

• 1² = 1, 2*1 = 2 (не двузначное)
• 2² = 4, 2*2 = 4 (не двузначное)
• 3² = 9, 2*3 = 6 (не двузначное)
• 4² = 16, 2*4 = 8 (не двузначное)
• 5² = 25, 2*5 = 10 (не те же цифры)
• 6² = 36, 2*6 = 12 (не те же цифры)
• 7² = 49, 2*7 = 14 (не те же цифры)
• 8² = 64, 2*8 = 16 (не те же цифры)
• 9² = 81, 2*9 = 18 (не те же цифры)

Среди этих вариантов нет подходящего. Давайте переформулируем задачу:

Пусть искомое однозначное число — \( a \). Его квадрат — \( a^2 \).

Петя удвоил число, получив \( 2a \). Полученное двузначное число — это \( a^2 \), но с переставленными цифрами.

Рассмотрим квадраты однозначных чисел, которые являются двузначными:

• \( 4^2 = 16 \). Удвоенное число \( 2 4 = 8 \) (не двузначное).
• \( 5^2 = 25 \). Удвоенное число \( 2 5 = 10 \) (не то же, что 25, и не 52).
• \( 6^2 = 36 \). Удвоенное число \( 2 6 = 12 \) (не то же, что 36, и не 63).
• \( 7^2 = 49 \). Удвоенное число \( 2 7 = 14 \) (не то же, что 49, и не 94).
• \( 8^2 = 64 \). Удвоенное число \( 2 8 = 16 \) (не то же, что 64, и не 46).
• \( 9^2 = 81 \). Удвоенное число \( 2 9 = 18 \) (не то же, что 81, и не 18).

Проверим обратное условие: удвоенное число равно квадрату с переставленными цифрами.

Пусть искомое однозначное число — \( x \). Петя получил \( 2x \).

Пусть квадрат числа \( x \) — \( y \). Петя получил число, цифры которого — это цифры \( y \) в обратном порядке.

Переберём однозначные числа \( x \) и их удвоенные значения \( 2x \), а затем проверим, является ли \( 2x \) квадратом числа, цифры которого — это цифры \( x^2 \) в обратном порядке.

Пример: если \( x = 7 \), то \( x^2 = 49 \). Число с переставленными цифрами — \( 94 \). Удвоенное число \( 2x = 14 \). \( 14 ≠ 94 \).

Рассмотрим числа, квадраты которых являются двузначными: \( 4^2=16, 5^2=25, 6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81 \).

Если квадрат — \( 16 \), то число — \( 4 \). Удвоенное число — \( 2 4 = 8 \). Число с переставленными цифрами от \( 16 \) — \( 61 \). \( 8 ≠ 61 \).

Если квадрат — \( 25 \), то число — \( 5 \). Удвоенное число — \( 2 5 = 10 \). Число с переставленными цифрами от \( 25 \) — \( 52 \). \( 10 ≠ 52 \).

Если квадрат — \( 36 \), то число — \( 6 \). Удвоенное число — \( 2 6 = 12 \). Число с переставленными цифрами от \( 36 \) — \( 63 \). \( 12 ≠ 63 \).

Если квадрат — \( 49 \), то число — \( 7 \). Удвоенное число — \( 2 7 = 14 \). Число с переставленными цифрами от \( 49 \) — \( 94 \). \( 14 ≠ 94 \).

Если квадрат — \( 64 \), то число — \( 8 \). Удвоенное число — \( 2 8 = 16 \). Число с переставленными цифрами от \( 64 \) — \( 46 \). \( 16 ≠ 46 \).

Если квадрат — \( 81 \), то число — \( 9 \). Удвоенное число — \( 2 9 = 18 \). Число с переставленными цифрами от \( 81 \) — \( 18 \). \( 18 = 18 \). Это совпадение!

Значит, искомое однозначное число — \( 9 \). Его квадрат — \( 81 \). Петя удвоил \( 9 \) и получил \( 18 \). Число \( 18 \) — это \( 81 \) с переставленными цифрами.

Правильный ответ, который должен был получить Петя, — квадрат числа \( 9 \).

Ответ: 81